Número feliz

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Los números felices se definen por el siguiente procedimiento: empezando con cualquier número entero positivo, se reemplaza el número por la suma de los cuadrados de sus dígitos, y se repite el proceso hasta que el número es igual a 1 o hasta que se entra en un bucle que no incluye el 1.[1] Los números que al finalizar el proceso terminan con 1, son conocidos como números felices. Aquellos que no, son conocidos como números infelices (o tristes).[2] Un número primo que además es un número feliz se llama primo feliz.

Definición[editar]

Más formalmente, dado un número de tal modo que , se define una secuencia , ,... donde es la suma de los cuadrados de los dígitos de . Entonces es feliz si y sólo si existe i de tal modo que .

7 es un número feliz, ya que:

72 = 49
42 + 92 = 97
92 + 72 = 130
12 + 32 + 02 = 10
12 + 02 = 1.

Si no es feliz la suma de los cuadrados entrará en un bucle (de periodo 8):

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4,...

Fórmula[editar]

Existe una fórmula recursiva que permite comprobar si un número es feliz después de una serie de iteraciones.[3]

Sea el número a comprobar. Si después de algunas iteraciones se considera entonces que es feliz.

.

Infinitud de números felices[editar]

Es fácil comprobar que hay infinitos números felices, ya que los cuadrados de los dígitos de cualquier número de la forma  (con  un número natural) siempre suman 1.

De la misma manera, hay infinitos números infelices, pues los cuadrados de los dígitos de los números de la forma  (con natural) suman 4, que es un número infeliz.

Listas de números felices[editar]

Existen dos números felices de una cifra: 1 y 7. (7 es además un primo feliz)

Existen 17 números felices de dos cifras: 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94 y 97. (13, 19, 23, 31, 79 y 97 son primos felices).

Existen 123 números felices de tres cifras: 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193...

Los números felices son cada vez más infrecuentes, a medida que aumenta el número de cifras. Un 22.22% de una cifra, un 18.89% de dos cifras, un 13.67% de tres cifras, etc.

Primos felices[editar]

Aunque existen infinitos primos, e infinitos números felices, no se sabe si existen infinitos primos felices.[4]

Los primeros primos felices son 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239... (Secuencia A035497 de la OEIS)

Los segundo y tercero primos repitunos (1111111111111111111 y 11111111111111111111111) son además primos felices.

Números felices perfectos[editar]

De los 48 números perfectos que se conocen, solo tres son además felices: 28, 496 y 8128.

Igual que con los números primos felices, no se sabe si existen infinitos perfectos felices.

Felicidad en otras bases[editar]

En binario (base 2), todos los números son felices. La operación de sumar cuadrados se simplifica, ya que solo hace falta contar cuántos 1 tiene el desarrollo binario del número, un valor conocido como peso Hamming. El peso Hamming de un número siempre es menor que el propio número (si exceptuamos el 1 y el 0). Por lo tanto, se alcanza siempre el 1 como peso Hamming.

Referencias[editar]

  1. http://www.solveet.com/exercises/El-numero-feliz/73 (Consultado el 12 de marzo de 2014)
  2. http://gaussianos.com/tipos-de-numeros/ (Consultado el 12 de marzo de 2014)
  3. «OEIS». Consultado el 22 de noviembre de 2014. 
  4. «E34». Unsolved Problems Number Theory. 

Enlaces externos[editar]