Números de Stirling

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En matemáticas, los Números de Stirling resuelven algunos problemas del área de combinatoria. Su nombre se debe a James Stirling, quien los popularizó en el siglo XVIII. Existen dos diferentes conjuntos de números con este nombre: números de Stirling de primera especie y números de Stirling de segunda especie.

Notación[editar]

Existen diversas formas de denotar los números de Stirling. Los números de Stirling del primera especie se escriben con una s pequeña y los de segunda especie con una S grande (Abramowitz and Stegun usa una mayúscula o una S gótica). Las notaciones más comunes son:

  • Los números de Stirling de primera clase ordinarios (signados) se denotan como:

  • Los números de Stirling de primera clase signados se denotan como:

Los números de Stirling de segunda clase se denotan como:

La notación usando llaves y corchetes, en analogía a los coeficientes binomiales, fue introducida en 1935 por Jovan Karamata y promocionada por Donald Knuth; referida a veces como la notación de Karamata.

Números de Stirling de primera clase[editar]

Los números de Stirling de primera clase son los coeficientes s(n,k) de la expansión:

donde (símbolo de Pochhammer) denota el factorial descendente,

Nótese que (x)0 = 1 porque es un producto vacío. En combinatoria también se usa la notación para el factorial descedente, y para el factorial ascendente.[1]

Los números de Stirling de primera clase no signados:

(con una "s" minúscula), cuenta el número de permutaciones de n elementos con k ciclos disjuntos. Las siguiente tabla muestra algunos pocos números de Stirling de primera clase:

donde

Números de Stirling de segunda clase[editar]

El número de Stirling de segunda especie de formas de dividir un conjunto de n elementos en k partes:

donde el conjunto es el conjunto de los primeros n enteros. Otra notación para los números de Stirling de segunda especie son:

A continuación se muestra una tabla de valores para los números de Stirling de segunda especie:

n \ k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1
1 0 1
2 0 1 1
3 0 1 3 1
4 0 1 7 6 1
5 0 1 15 25 10 1
6 0 1 31 90 65 15 1
7 0 1 63 301 350 140 21 1
8 0 1 127 966 1701 1050 266 28 1
9 0 1 255 3025 7770 6951 2646 462 36 1

donde:

Fórmulas simétricas[editar]

Abramowitz y Stegun presentan las siguientes fórmulas simétricas que relacionan los número de Stirling de primera especie con los de segunda especie:

Y

Referencias[editar]

  1. Aigner, Martin (2007). «Section 1.2 - Subsets and Binomial Coefficients». A Course In Enumeration. Springer. p. 561. ISBN 3-540-39032-4. 

Bibliografía[editar]