Número de Størmer

Un número de Størmer, también denominado número arcotangente-irreductible , es un número natural n, para el cual el factor primo más grande de (n² + 1) es mayor o igual a 2n. El nombre se debe al geofísico y matemático noruego Carl Størmer.

Definición

Un número natural $n$ es un número de Størmer si existe un número primo $p$ con $p\geq 2n$ y $p|(n^{2}+1)$, donde | denota la relación de divisibilidad.

Ejemplo

n=33 es un número de Størmer. El mayor factor primo de $n^{2}+1=33^{2}+1=1090=2\cdot 5\cdot 109$ es $109$ y este es mayor que $2n=2\cdot 33=66$.

Números de Størmer

Los siguientes son números de Størmer:

1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 71, 74, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 94, 95, 96, ...

Ocurrencias

Los números de Størmer aparecen, por ejemplo, en el examen de los valores de la función arcotangente para argumentos enteros. Un valor de este tipo (también denominado número de Gregory) se denomina $\arctan(n)$-reducible si se puede expresar como una combinación lineal entera (de coeficientes enteros):

$\arctan(n)=\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}\cdot \arctan(k),\quad a_{k}\in \mathbb {Z}$

de valores de esta función para argumentos enteros menores, como por ejemplo:

$\arctan(3)=3\cdot \arctan(1)-\arctan(2)$,

$\arctan(7)=-\arctan(1)+2\cdot \arctan(2)$,

$\arctan(8)=2\cdot \arctan(1)+\arctan(3)-\arctan(5)$.

Resulta entonces que $\arctan(n)$ es irreducible, o sea, no puede expresarse por una combinación lineal del tipo indicado, exactamente cuando $n$ es un número de Størmer. Esto explica la denominación alternativa número arcotangente-irreductible que se menciona al comienzo.

Enlaces externos

• Størmer number (MathWorld)

• Datos: Q430033