Momento central

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En estadística el momento central o centrado de orden k de una variable aleatoria X es la esperanza matemática \operatorname{E}[(X-E[X])^k] donde \operatorname{E} es el operador de la esperanza. Si una variable aleatoria no tiene media el momento central es indefinido. También se puede definir como:

 \mu_k = \operatorname{E} \left[ ( X - \operatorname{E}[X] )^k \right]  = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^k f(x)\,dx.

Normalmente la letra griega para el momento central es μ. El primer momento central es cero y el segundo se llama varianza (σ²) donde σ es la desviación estándar. El tercer y cuarto momentos centrales sirven para definir los momentos estándar denominados de asimetría y de curtosis.

Las fórmulas de los momentos centrados y no centrados se pueden obtener a partir de la fórmula de la esperanza matemática. Si la desarrollamos, obtenemos que los momentos no centrados son:

Orden 0:  E[x^0] = 1

Orden 1:  E[x] = \frac{\sum_{i} x_i}{n} = m = \mu

Orden 2:  E[x^2] = \frac{\sum_{i} x_i^2}{n} = \mu_2

Orden 3:  E[x^3] = \frac{\sum_{i} x_i^3}{n} = \mu_3

Orden 4:  E[x^4] = \frac{\sum_{i} x_i^4}{n} = \mu_4

Mientras que los Centrados son:

Orden 0:  E[(x-m)^0] = 1

Orden 1:  E[(x-m)] = \mu - \mu

Orden 2:  E[(x-m)^2 ]= \mu_2 - \mu^2 = \sigma^2

Orden 3:  E[(x-m)^3 ]= \mu_3 - 3\mu \sigma^2 + 2\mu^3

Orden 4:  E[(x-m)^4 ]= \mu_4 - 4\mu\mu_3 + 6\mu^2 \sigma^2 + 3\mu^4

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