Matriz nilpotente

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En álgebra lineal, una matriz se dice que es nilpotente si existe tal que .

Teorema[editar]

Si es una matriz nilpotente entonces su determinante es cero. Que el determinante sea cero es una condición necesaria para ser una matriz nilpotente, aunque no es una condición suficiente.

Demostración[editar]

Si A es una matriz nilpotente de orden k,

Por lo tanto:

Luego: por lo que

El recíproco no es cierto: la matriz

tiene determinante igual a cero, pero no es nilpotente. Una condición necesaria y suficiente es que la matriz no tenga autovalores diferentes de cero, en ese caso la matriz es nilpotente.

Ejemplos[editar]

La matriz

es nilpotente, ya que M2 = 0. En términos más generales, cualquier matriz triangular con ceros a lo largo de la diagonal principal es nilpotente. Por ejemplo, la matriz

es nilpotente, con

Aunque los ejemplos anteriores tienen un gran número de cero de las entradas, no todas las matrices nilpotentes lo tienen. Por ejemplo, las matrices

ambas elevadas al cuadrado son cero, aunque ninguna matriz tiene ceros en las entradas.

Propiedades adicionales[editar]

  • Si N es nilpotente, entonces I + N es invertible, donde I es la matriz identidad de orden n (n × n). El inverso viene dado por:
donde sólo un número finito de términos del desarrollo anterior es diferente de cero.
  • Si N es nilpotente, entonces
donde I es de nuevo la matriz identidad de orden n. Recíprocamente, si A es una matriz y
para todos los valores de t, entonces A es nilpotente.
  • Toda matriz singular (con determinante nulo) puede escribirse como producto de matrices nilpotentes.[1]

Generalizaciones[editar]

Un operador lineal T es localmente nilpotente si para todo vector v, existe un k tal que

Para operadores sobre espacios vectoriales de dimensión finita, la nilpotencia local equivale a la nilpotencia convencional.

Referencias[editar]

  1. R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3