Matriz compañera

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En álgebra lineal, la matriz compañera del polinomio mónico

es la matriz cuadrada definida como

Con este convenio, y sobre la base v1, ... , vn, uno tiene

(Para i < n), y v1 generar V como K[C]-module: C ciclos de vectores de la base.

Algunos autores utilizan la transposición de esta matriz, que es más conveniente para algunos propósitos, como las relaciones de recurrencia lineales.

Caracterización[editar]

El polinomio característico así como el polinomio mínimo de C(p) son iguales a p.[1]

En este sentido, la matriz C(p) es la "compañera" del polinomio p.

Si A es una matriz de n por n con entradas en algún cuerpo K, entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:

  • A es similar a la matriz compañera sobre K de su polinomio característico.
  • El polinomio característico de A coincide con el polinomio mínimo de A, equivalentemente, el polinomio mínimo tiene grado n.
  • Existe un vector cíclico v en para A, lo que significa que {v, Av, A2v,..., An−1v} es una base de V. De manera equivalente, si V es cíclico como una -module (y ); se dice que A es regular.

No toda matriz cuadrada es similar a una matriz compañera. Pero toda matriz es similar a una matriz formada por bloques de matrices de compañía. Además, estas matrices de compañía pueden ser elegidas de modo que sus polinomios se dividan entre sí; entonces, se determinan de forma única por A. Esta es la forma canónica relacional de A.

Diagonalización[editar]

Si p(t) tiene raíces distintas λ1, ..., λn (los valores propios de C(p)), entonces C(p) es diagonalizable como sigue:

donde V es la matriz de Vandermonde correspondiente a los Y's.

En este caso,[2]​ trazas de las potencias m de C producen fácilmente sumas de las mismas potencias m de todas las raíces de p(t),

En general, la matriz compañero puede ser no diagonalizable.

Secuencias lineales recursivas[editar]

Dada una secuencia lineal recursiva con polinomio característico

la matriz compañera

genera la secuencia, en el sentido de que

incrementa la serie en 1.

El vector (1,t,t2, ..., tn-1) es un vector propio de esta matriz de valor propio t, cuando t es una raíz del polinomio característico p(t).

Para c0 = −1, y para todo ci=0, i.e., p(t) = tn−1, esta matriz se reduce a la matriz de desplazamiento cíclico de Sylvester, o matriz circulante.

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. Horn, Roger A.; Charles R. Johnson (1985). Matrix Analysis. Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. 146-147. ISBN 0-521-30586-1. Consultado el 10 de febrero de 2010. 
  2. Bellman, Richard (1987), Introduction to Matrix Analysis, SIAM, ISBN 0898713994.