Matriz booleana

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Una matriz booleana es una matriz de números cuyas componentes o entradas son exclusivamente ceros o unos. Las matrices booleanas son útiles porque pueden representar objetos abstractos como relaciones binarias o grafos.

Una matriz booleana general de nxm elementos tiene la forma:

Donde aij = 0 o aij = 1.

Ejemplos[editar]

Ejemplos de matrices booleanas son las siguientes:

Operaciones con matrices booleanas[editar]

Las operaciones que se pueden realizar entre matrices booleanas son tres: unión, conjunción y producto booleano. Sin embargo, estas operaciones no pueden realizarse sobre dos matrices cualesquiera, sino que deben cumplir ciertos criterios para poder llevarse a cabo. En particular, en el caso de la unión y la conjunción, las matrices que intervienen en la operación deben tener el mismo tamaño, y en el caso del producto booleano, las matrices deben cumplir con las mismas condiciones que para formar el producto de matrices.

Unión / Disyunción[editar]

Sean A, B y C matrices booleanas de nxm elementos. Se define la unión de A y B, por:

Intersección / Conjunción[editar]

Sean A, B y C matrices booleanas de nxm elementos. Se define la intersección de A y B, por:

Otras operaciones matriciales[editar]

La traspuesta de una matriz booleana es también otra matriz booleana; pero las operaciones con matrices booleanas no siempre producen matrices booleanas. Un ejemplo de operación que no es interna para las matrices booleanas es la suma:

Sin embargo, si se consideran las operaciones no sobre números reales sino sobre elementos del cuerpo de característica 2 queda garantizado que cualquier operación entre matrices booleana es boolena. Para el ejemplo anterior se tiene:

Matriz booleana asociada a una relación[editar]

Dada relación binaria sobre un conjunto de n elementos , para calcular la clausuara simétrica conviene representar la relación como matriz booleana definida mediante:

Diagrama de un grafo con 6 vértices y 7 aristas.

El grafo no dirigido de la figura adjunta puede entenderse como una relación binaria. Dos elementos están relacionados si existe una línea que los una directamente. La matriz asociada a la relación binaria de conexión directa se llama matriz de incidencia, que es una matriz booleana que viene dada por:

El elemento ij de la anterior matriz es 1 si existe una línea que una directamente los círculos i y j y 0 en caso contrario.