Método de Prony

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El método de Prony fue desarrollado por Gaspard Riche de Prony en 1795, sin embargo, los usos prácticos del método solo se presentaron con la introducción de las computadoras digitales. El método de Prony extrae información de una señal uniformemente muestreada y, construye una serie de exponenciales complejas o sinusoidales. Esto permite la estimación de las componentes de una señal: frecuencia, amplitud, fase y, amortiguamiento.

El método[editar]

Sea una señal que consiste de muestras igualmente espaciadas. El método de Prony ajusta una función a la función observada

Utilizando la identidad de Euler, puede ser expresada de una forma que permite un calculo más directo de los términos

Donde: son los eigenvalores del sistema. son las componentes de atenuación. son las componentes de fase. son las componentes de frecuencia. son las componentes de amplitud de la serie.

Representations[editar]

El método de Prony es una descomposición de una señal mediante exponenciales complejas a través del siguiente proceso:

Muestrear regularmente de tal manera que de muestras pueda ser escrito como:

Si consiste de sinusoidales amortiguadas, entonces existirá un par de exponenciales complejas tales que:

donde

Debido a que la suma de exponenciales es la solución a un sistema de Ecuaciones en diferencias, la siguiente solución existirá:

La clave del método de Prony es que los coeficientes en la ecuación en diferencias están relacionados con el siguiente polinomio

Por tanto, se pueden expresar los 3 pasos del método de Prony.

1) Construya y resuelva la ecuación matricial para los valores :

Notar que si puede que se necesite una matriz generalizada para encontrar los valores

2) Luego de encontrar los valores de encuentre las raíces del polinomio

Las raíces de este polinomio serán iguales a .

3) Con los valores , los valores de harán parte de un sistema de ecuaciones lineares el cual puede ser usado para encontrar los valores de

donde valores únicos son usados. Es posible utilizar una matriz genérica si se utilizan más de muestras.

Referencias[editar]

  • Rob Carriere and Randolph L. Moses, “High Resolution Radar Target Modeling Using a Modified Prony Estimator,” IEEE Trans. Antennas Propogat., vol.40, pp. 13–18, January 1992.
  • Hauer, J.F. et al. (1990). "Initial Results in Prony Analysis of Power System Response Signals". IEEE Transactions on Power Systems, 5, 1, 80-89