Lema de Urysohn

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En topología, el lema de Urysohn es un lema que establece que un espacio topológico es normal si y sólo si cualquier par de conjuntos cerrados disjuntos pueden ser separados por una función.

El lema de Urysohn es comúnmente usado para construir funciones continuas con ciertas propiedades en espacios normales. Es aplicado en muchas situaciones, puesto que todos los espacios métricos y todos los espacios de Hausdorff compactos son normales. El teorema de extensión de Tietze es una generalización de este lema, cuya demostración generalmente lo utiliza.

Este lema debe su nombre al matemático ruso Pavel Samuilovich Urysohn.

Enunciado[editar]

Dos conjuntos cerrados disjuntos A y B de un espacio topológico X se dicen separados por vecindades si existen vecindades U de A y V de B que también son disjuntas. A y B se dicen separados por una función si existe una función continua f de X al intervalo unitario [0,1] tal que f(a) = 0 para todo a en A y f(b) = 1 para todo b en B. Cualquier función con tales propiedades se dice una función de Urysohn para A y B.

Un espacio normal es un espacio topológico en el que todo par de conjuntos cerrados disjuntos puede ser separado por vecindades. El lema de Urysohn afirma que un espacio topológico es normal si y sólo si todo par de conjuntos cerrados disjuntos puede ser separado por una función continua.

No es necesario que los conjuntos A y B sean precisamente separados por f, es decir, no se requiere que f(x) ≠ 0 y ≠ 1 para x fuera de A y B. Esto es posible sólo en espacios perfectamente normales.

El lema de Urysohn ha llevado a la formulación de otras nociones topológicas, tales como la «propiedad de Tychonoff» y los «espacios completamente de Hausdorff». Por ejemplo, un corolario del lema es que los espacios normales y T1 son de Tychonoff.