Límite (teoría de categorías)

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En teoría de categorías, una rama de la matemática, la noción abstracta delímite captura las propiedades esenciales de las construcciones universales tales como productos y límites inversos.

La noción dual de colímite generaliza construcciones tales como uniones disjuntas, sumas directas, coproductos, pushouts y límites directos.

Los límites y colímites, como las nociones fuertemente relacionadas con propiedades universales y funtores adjuntos, existen a un gran nivel de abstracción. De manera que, para entenderlos, es útil estudiar primero los ejemplos específicos de esos conceptos que serán luego objeto de generalización.

Definición[editar]

Antes de definir el límite de un funtor covariante debemos definir el cono (en el sentido teoría de categorías, de cone) de un funtor (covariante) F : J \rightarrow C , ayudándonos del diagrama de abajo, que consta de:

  • Dos objetos de la categoría J: X e Y.
  • Un morfismo f, de dicha categoría, f:X\rightarrowY
  • Las imágenes por F de los dos objetos X e Y.
  • La "F-imagen" del morfismo f (imagen de f por F: F(f)).
  • Un objeto L de la categoría C, "vértice" del "cono".
  • Los conjuntos de morfismos X e Y (los llamamos igual que los objetos X e Y), que constan de todos los morfismos desde L a F(X) , y desde L hacia F(Y).

Limitefuntor.png


Si el objeto en J es X, en la definición de cono que damos decimos "X" también al conjunto de flechas que van del objeto L sobre el que hacemos el cono hacia dicho X. Además, el cono sobre L lo denotaremos así: (L, X), queriendo decir que hacemos la colección de todas las familias de flechas que apuntan desde L, esto es, esos conjuntos de flechas "X" en la categoría codominio del funtor F y que hemos denominado "varias" para sugerir que pueden ser varias.

Un límite del funtor F es entonces un "cono universal". Esto es, un cono (L, X) de F decimos que es un límite para el funtor F si y sólo si para todo otro cono (N, X) de F, existe sólo un morfismo u: N \rightarrow L tal que X · u = X.

Esto es, podemos decir que los morfismos X factorizan a través de L con la factorización única u.

La definición de colímite y de co-cono es la de arriba pero con todas las flechas "al revés". Debiera explicitarse.

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]