Integral exponencial

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Gráfica de la función E1 (arriba) y de la función Ei (parte inferior).

En el ámbito de las matemáticas la integral exponencial es una función especial definida en el plano complejo e identificada con el símbolo  Ei.

Definiciones[editar]

Para valores reales de  x, la integral exponencial Ei(x) se define como

Esta definición puede ser utilizada para valores positivos de  x, pero a causa de la singularidad del integrando en cero, la integral debe ser interpretada en término del valor principal de Cauchy. Para valores complejos del argumento, esta definición es ambigua a causa de los puntos de ramificación en 0 y en .[1] En general, se realiza un corte en el eje real negativo y Ei puede ser definida mediante una continuación analítica en el resto del plano complejo.

Se utiliza la siguiente notación,[2]

Para valores positivos de la parte real de , esto se puede expresar como[3]

El comportamiento de E1 cerca del branch cut puede ser analizado mediante la siguiente relación:[4]

Propiedades[editar]

Las propiedades de la exponencial integral mostradas, en ocasiones, permiten sortear él la evaluación explícita de la función a partir de la definición dada arriba.

Series Convergentes[editar]

Tras integrar la serie de Taylor de , y extraer la singularidad logarítmica, se puede obtener la siguiente representación en forma de serie de para real:[5]

Para argumentos complejos fuera del eje real, esta serie se generaliza a[6]

donde es la constante de Euler-Mascheroni. La suma converge para todo complejo, y tomamos el valor usual del logaritmo complejo con el corte de rama a lo largo del eje real negativo.


Series Asintóticas[editar]

Error relativo de la aproximación asintótica para diferente numero de términos de la suma truncada

Por desgracia, la convergencia de las series mostradas arriba es muy lenta para argumentos con gran módulo. Por ejemplo, para x=10, se necesitan más de 40 términos para obtener una respuesta correcta con 3 cifras significativas.[7] Sin embargo, existe una serie asintótica divergente que puede ser obtenida a partir de la integración de por partes:[8]

cuyo error es del orden y es válida para grandes valores de . El error relativo de la serie asintótica se muestra en la gráfica de la derecha para varios valores de ( en rojo, en rosa). Cuando , la aproximación dada con es exacta en representación de doble precisión, de 64 bits.

Comportamiento exponencial y logarítmico: Cotas[editar]

Acotamiento de por funciones elementales

De las series dadas arriba, se deduce que se comporta como una exponencial negativa para grandes valores del argumento y como un logaritmo para pequeños valores del mismo. Para valores reales positivos del argumento, queda acotada superior e inferiormente por funciones elementales como sigue:[9]

La parte izquierda de la desigualdad se muestra en la gráfica de la izquierda en azul, la parte central, que es , es la curva negra y la parte de la derecha es la curva roja.


Definición mediante [editar]

Las funciones y pueden ser escritas de forma más simple mediante la función entera [10] definida como

(nótese que esta es la serie alternante que aparecía en la definición de ). Se sigue inmediatamente que:

Relación con otras funciones[editar]

La integral exponencial está altamente relacionada con la función logaritmo integral li(x) por la siguiente relación

para valores positivos reales de .

La integral exponencial se puede generalizar a

que es una familia de funciones que puede representarse como un caso especial de la función gamma incompleta:[11]

Esta forma generizada se llama a veces función de Misra function[12] , que se define como

Derivadas[editar]

Las derivadas de las funciones pueden ser obtenerse mediante el uso de la fórmula[13]

Nótese que la función es sencilla de evaluar (dando un término inicial a la relación recursiva), pues es .[14]

Integral Exponencial de argumento imaginario[editar]

respecto a ; parte real en negro, parte imaginaria en rojo.

Si es imaginario, la función tiene una parte real no nula, así podemos usar la fórmula

para obtener una relación de la exponencial integral con las integrales trigonométricas y :

Las partes real e imaginaria de están dibujadas en la gráfica de la derecha en negro y rojo respectivamente.

Aplicaciones[editar]

  • Transmisión de calor con dependencia temporal
  • Flujo de aguas subterraneas fuera del equilibrio en la solución de Theis
  • Transferencia radiativa en atmósferas estelares
  • Ecuación de difusividad radial para flujos transitorios o de flujo no estacionario entre fuentes y sumideros con forma de línea recta.

Notas[editar]

  1. Abramowitz and Stegun, p.228
  2. Abramowitz and Stegun, p.228, 5.1.1
  3. Abramowitz and Stegun, p.228, 5.1.4 con n = 1
  4. Abramowitz and Stegun, p.228, 5.1.7
  5. Para una demostración, véase Bender y Orszag, p253
  6. Abramowitz y Stegun, p.229, 5.1.11
  7. Bleistein y Handelsman, p.2
  8. Bleistein y Handelsman, p.3
  9. Abramowitz y Stegun, p.229, 5.1.20
  10. Abramowitz y Stegun, p.228, véase la nota 3.
  11. Abramowitz y Stegun, p.230, 5.1.45
  12. After Misra (1940), p.178
  13. Abramowitz and Stegun, p.230, 5.1.26
  14. Abramowitz and Stegun, p.229, 5.1.24

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Abramovitz, Milton; Irene Stegun (1964). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Abramowitz and Stegun. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4. 
  • Bender, Carl M.; Steven A. Orszag (1978). Advanced mathematical methods for scientists and engineers. McGraw-Hill. ISBN 0-07-004452-X. 
  • Bleistein, Norman; Richard A. Handelsman (1986). Asymptotic Expansions of Integrals. Dover. ISBN 0486650820. 
  • Misra, Rama Dhar (1940). «On the Stability of Crystal Lattices. II». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 36 (2): 173. doi:10.1017/S030500410001714X. 
  • Press, William H.; et al (1994). Numerical recipes in C: the art of scientific computing. Cambridge [England]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-43108-5.  contiene códigos para calcular y , a partir de p.222.

Enlaces externos[editar]