Integración por sustitución trigonométrica

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La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la siguiente forma

 \sqrt {a^2 - u^2} ,  \sqrt{a^2 + u^2} y  \sqrt{u^2 - a^2}

Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas.

En el caso general la integral a resolver es:

\int R (x,\sqrt{ax^2+bx+c}) dx

Simplifiquemos paso a paso el término de la raíz, en primer lugar sacaremos a factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.

\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a} \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+2\cdot \frac{bx}{2a}+\frac{c}{a} \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+2\cdot \frac{bx}{2a}+\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 -\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 \right )}=

=\sqrt{a\cdot \left ( \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+ \left ( \frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2} \right ) \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+c-\frac{b^2}{4a}}

De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:

  1. a>0 Λ c-\frac{b^2}{4a}>0 es decir: \sqrt{m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+n^2}
  2. a>0 Λ c-\frac{b^2}{4a}<0 es decir: \sqrt{m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2-n^2}
  3. a<0 Λ c-\frac{b^2}{4a}>0 es decir: \sqrt{n^2-m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2}

teniendo la forma las ecuaciones conocidas: con

u=m \left ( x+\frac{b}{2a} \right)  

Estos los cambios que hay que realizar según la situación:

  1. \sqrt{u^2+n^2};\quad  u=n\cdot \tan t
  2. \sqrt{u^2-n^2};\quad  u=n\cdot \sec t
  3. \sqrt{n^2-u^2};\quad  u=n\cdot \sin t

La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en t, se resuelve y se deshace el cambio.