Identidad de Parseval

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En álgebra, la identidad de Parseval, también conocida como la igualdad de Parseval, es una generalización del teorema de Pitágoras aplicado a los espacios de Hilbert separables. Si B es una base ortonormal en un espacio vectorial producto interno de dimensión finita , entonces

El nombre procede de la relación de Parseval para las series de Fourier, que es un caso especial.

La identidad de Parseval se puede demostrar mediante el teorema de Riesz-Fischer.

Demostración[editar]

Sea una base ortogonal de un espacio producto interno de cuerpo , o

Se demuestra que :

entonces , con

donde son las coordenadas en base del vector . Entonces

Si la base es ortonormal, , entonces resulta:

Para este caso, puede calcularse:

Por dos de los axiomas del producto interno, , con y

resulta con y , entonces:

Como , y la base es ortonormal .

Además, usando la propiedad de los número complejos, , con

Entonces:

quedando entonces la expresión

Relación con series de Fourier[editar]

Informalmente podemos expresar la identidad de Parseval aplicada a las series de Fourier, tanto en forma compleja como real.

Forma compleja (o exponencial):

Forma real (o trigonométrica):

Siendo el periodo y , , los coeficientes de Fourier complejos y reales respectivamente. (Aquí se utiliza la convención de que , en otro caso el coeficiente de será diferente).

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Johnson & Riess; Numerical Analysis. ISBN 0-201-10392-3.; apuntes teóricos personales de Álgebra II - Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, Argentina