En álgebra, la identidad de Parseval, también conocida como la igualdad de Parseval, es una generalización del teorema de Pitágoras aplicado a los espacios de Hilbert separables. Si B es una base ortonormal en un espacio vectorial producto interno de dimensión finita
, entonces

El nombre procede de la relación de Parseval para las series de Fourier, que es un caso especial.
La identidad de Parseval se puede demostrar mediante el teorema de Riesz-Fischer.
Sea
una base ortogonal de un espacio producto interno
de cuerpo
,
o
Se demuestra que
:

entonces
, con
donde
son las coordenadas en base
del vector
. Entonces

Si la base
es ortonormal,
, entonces resulta:

Para este caso, puede calcularse:

Por dos de los axiomas del producto interno,
, con
y
resulta
con
y
, entonces:

Como
, y la base
es ortonormal
.
Además, usando la propiedad de los número complejos,
, con
entonces:

quedando entonces la expresión

Relación con series de Fourier
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Informalmente podemos expresar la identidad de Parseval aplicada a las series de Fourier, tanto en forma compleja como real.
Forma compleja (o exponencial):

Forma real (o trigonométrica):

Siendo
el periodo y
,
,
los coeficientes de Fourier complejos y reales respectivamente. (Aquí se utiliza la convención de que
, en otro caso el coeficiente de
será diferente).