Hiperoperación

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En matemáticas, la sucesión de hiperoperaciones[nb 1]​ es una sucesión infinita de operaciones aritméticas (llamadas hiperoperaciones)[1][11][13]​ que se inicia con la operación unaria sucesor (n = 0), siguiendo con las operaciones binarias de adición (n = 1), multiplicación (n = 2), y potenciación (n = 3), después de lo cual la sucesión continúa con más operaciones binarias, que se extienden más allá de la potenciación, mediante la asociatividad por derecha. Para las operaciones más allá de la potenciación, el n-ésimo miembro de esta sucesión es nombrado por Rubén Goodstein después del prefijo griego de n con el sufijo -ción (como tetración (n = 4), pentación (n = 5), hexación (n = 6), etc.)[5]​ y puede ser escrito mediante el uso de n − 2 flechas en la notación flecha de Knuth. Cada hiperoperación puede ser entendida de forma recursiva en términos de la anterior por:

(m ≥ 0)

Esto también puede ser definido de acuerdo a la regla de recursividad con parte de la definición, como en la versión flecha hacia arriba de Knuth de la función de Ackermann:

(m ≥ -1)

Esta puede ser usada fácilmente para mostrar números mucho más grandes que las que la notación científica puede, tales como el número de Skewes y el googolplex, pero hay algunos números que incluso ellos no pueden mostrar fácilmente, tales como el número de Graham y ÁRBOL(3).

Esta repetición de la regla es común a muchas variantes de hiperoperaciones (ver a continuación).

Definición[editar]

La sucesión de hiperoperaciones es la sucesión de operaciones binarias , que se define recursivamente como sigue:

(Tenga en cuenta que para n = 0, la operación binaria esencialmente se reduce a una única operación (función sucesor) ignorando el primer argumento.)

Para n = 0, 1, 2, 3, esta definición reproduce las operaciones básicas de la aritmética del sucesor (que es una única operación), adición, multiplicación y potenciación, respectivamente, como

Entonces, ¿cuál será la siguiente operación después de potenciación? Hemos definido la multiplicación de modo que , y define la potenciación de modo que por lo que parece lógico definir la siguiente operación, la tetración, por lo que con una torre de tres 'un'. De forma análoga, la pentation de (a,3) será tetración(a, tetración(a,a))), con tres «a» en ella. Las H operaciones para n ≥ 3 pueden ser escritas en la la notación flecha de Knuth como:

...
...

La notación de Knuth puede ser extendida a los índices negativos ≥ -2 de modo tal que esté de acuerdo con toda la sucesión de hiperoperaciones, excepto por el retraso en la indización:

Las hiperoperaciones por lo tanto puede ser vistas como una respuesta a la pregunta «¿qué es lo siguiente?» en la sucesión: sucesor, adición, multiplicación, potenciación, y así sucesivamente. Tomando nota de que:

la relación entre las operaciones aritméticas básicas se ilustra, permitiendo que la mayor de las operaciones sean definidas de forma natural, como anteriormente. Los parámetros de la jerarquía de hiperoperaciones se refieren a veces por el análogo de la potenciación;[14]​ así, a es la base, b es el exponente (o hiperexponente),[12]​ y n es el rango (o grado).[6]

En términos coloquiales, las hiperoperaciones son maneras de componer números que aumentan en un crecimiento basado en la repetición de la anterior hiperoperación. Los conceptos de sucesor, adición, multiplicación y potenciación son todos hiperoperaciones; el sucesor de operación (producción de x+1 en x) es el más primitivo, el operador especifica el número de veces que 1 se añade a sí mismo para producir un valor final, la multiplicación especifica el número de veces que un número se añade a sí mismo, y la exponenciación se refiere al número de veces que un número se multiplica por sí mismo.

Ejemplos[editar]

Esta es una lista de las primeras siete (0 a 6) hiperoperaciones. (Observe que en este artículo, definimos 0⁰ como 1.)

n Operación

(Hn(a, b))

Definición Nombres Dominio
0 hyper0, incremento, sucesor, «ceración» arbitrario
1 hyper1, adición arbitrario
2 hyper2, multiplicación arbitrario
3 o bien hyper3, potenciación b real, con algunas extensiones multivaluadas a números complejos
4 o bien hyper4, tetración a ≥ 0 , b es un entero ≥ −1[nb 2]​ (with some proposed extensions)
5 o bien hyper5, pentación a, b enteros ≥ −1[nb 2]
6 o bien hyper6, hexación a, b enteros ≥ −1[nb 2]

Casos especiales[editar]

Hn(0, b) =

0, cuando n = 2 o n = 3, b ≥ 1, o, n ≥ 4, b impar (≥ -1)
1, cuando n = 3, b = 0, n ≥ 4, b (≥ 0)
b, cuando n = 1
b + 1, cuando n = 0

Hn(a, 0) =

0, cuando n = 2
1, cuando n = 0, n ≥ 3
a, cuando n = 1
0, cuando n = 0, n ≥ 4
a − 1, cuando n = 1
a, cuando n = 2
1/a1/a , cuando n = 3

Historia[editar]

Uno de los primeros análisis sobre hiperoperaciones fue el de Albert Bennett[6]​ en 1914, que han desarrollado algunos de la teoría de la conmutativa de hiperoperaciones (ver a continuación). Unos 12 años más tarde, Wilhelm Ackermann definió la función [15]​ lo que de alguna manera se asemeja a la sucesión de hiperoperaciones.

En su 1947 papel,[5]​ R. L. Goodstein introdujo la sucesión específica de las operaciones que ahora se llaman hiperoperaciones, y sugiere también los nombres griegos de tetración, pentación, etc., para la ampliación de las operaciones más allá de potenciación (ya que se corresponden con los índices 4, 5, etc.). Como una función de tres argumentos, por ejemplo, , la sucesión de hiperoperaciones como un todo, es vista como una versión de la función de Ackermann original — que es recursiva , pero no primitiva recursiva — fue modificada por Goodstein para incorporar la primitiva función sucesor , junto con las otras tres operaciones básicas de la aritmética (adición, multiplicación, potenciación), y para hacer más fluida la extensión de estos más allá de potenciación.

La función de Ackermann original de tres argumentos  utiliza la misma regla de recursividad que la versión de Goodstein versión de ella (es decir, la hiperoperación secuencia), pero difiere de la misma de dos maneras. En primer lugar,  se define como una sucesión de operaciones a partir de la suma (n = 0) en lugar de la función sucesor, luego la multiplicación (n = 1), la potenciación (n = 2), etc. En segundo lugar, las condiciones iniciales de  resultan en ,

así se distinguen de las hyperoperaciones más allá de potenciación.[7][16][17]​ La importancia de la b + 1 en la expresión anterior es que = , donde b cuenta el número de operadores (potenciaciones), en vez de contar el número de operandos ("a") como la b en , y así sucesivamente para el más alto nivel de las operaciones. (Ver el artículo función de Ackermann para obtener más detalles.)

Notaciones[editar]

Esta es una lista de notaciones que se han utilizado para las hiperoperaciones.

Nombre Notación equivalente a Comentario
Notación flecha de Knuth Usada por Knuth[18]​ (para n ≥ 3), y puede encontrarse en varios textos de referencia.[19][20]
Notación de Goodstein Usada por Reuben Goodstein.[5]
Función de Ackermann original Usada por Wilhelm Ackermann (para n ≥ 1) [15]
Función de Ackermann–Peter Corresponde a hiperoperaciones de base 2 (a = 2)
Notación de Nambiar Usada por Nambiar (para n ≥ 1) [21]
Notación caja Usada por Rubtsov y Romerio.[13][14]
Notación de superíndice Usada por Robert Munafo.[10]
Notación de subíndice (para lower hyperoperations) Usado por Robert Munafo[10]​ para las hiperoperaciones inferiores.
Notación de operadores (para "operaciones extendidas") Usado para las hiperoperaciones inferiores por John Donner y Alfred Tarski (para n ≥ 1).[22]
Notación de corchetes Se usa en muchos foros de internet, conveniente para ASCII.
Notación de flecha encadenada de Conway Usada por John Horton Conway (para n ≥ 3)
Función de Bowers Usada por Jonathan Bowers (para n ≥ 1)

Generalización[editar]

Para condiciones iniciales diferentes o reglas de recursión diferentes, pueden resultar operaciones muy diferentes. Algunos matemáticos se refieren a todas esas variantes como ejemplos de hiperoperaciones.

En sentido general, una jerarquía de hiperoperaciones es una familia de operaciones binarias en , indexada por un conjunto , tal que existe donde

  • (adición),
  • (multiplicación), y
  • (potenciación).

Además, si se relaja la última condición (es decir, no hay potenciación), entonces también pueden incluirse las hiperoperaciones conmutativas, descritas más abajo. Aunque se pueda enumerar cada hiperoperación explícitamente, generalmente no es el caso. La mayoría de las variantes incluyen únicamente la funciones sucesoras (o adición) o adición) en su definición y redefinen la multiplicación (y más allá), sobre la base de una sola regla de recursión que se aplica a todas las categorías. Puesto que esto forma parte de la definición de la jerarquía, y no una propiedad de la jerarquía en sí, es difícil de definir formalmente.

Variante partiendo de a[editar]

En 1928, Wilhelm Ackermann definió una función de 3 argumentos que evolucionó gradualmente hacia una función de 2 argumentos que se conoce como la función de Ackermann. La versión original de la función de Ackermann fue menos similar a las modernas hiperoperaciones, debido a sus condiciones iniciales: empezar con para todo n > 2. Él también asignó la adición para n = 0, la multiplicación para n = 1 y potenciación para n = 2, por lo que las condiciones iniciales producen operaciones muy diferentes para la tetración y más allá.

n Operación Comentario
0
1
2
3 Una manera de desplazar la tetración. La iteración de esta operación es diferente de la iteración de tetración.
4 No debe confundirse con pentación.

Otra condición inicial que se ha utilizado es (donde la base es constante ), debida a Rózsa Péter, que no forma una jerarquía .

Hiperoperaciones inferiores[editar]

Una alternativa para estas hiperoperaciones se obtiene mediante la evaluación de izquierda a derecha. Desde

definir (con ° o subíndice)

con

Esto se extendió a los números ordinales por Donner y Tarski,[22][Definición 1] mediante :

Hiperoperaciones conmutativas[editar]

Las hiperoperaciones conmutativas fueron analizadas por Albert Bennett ya en 1914,[6]​ lo cual es, posiblemente, la primera observación acerca de cualquier sucesión de hiperoperaciones. Las hiperoperaciones conmutativas son definidos por la regla de la recursividad

que es simétrica en a y b, es decir, todos las hiperoperaciones son conmutativas. Esta secuencia no contiene potenciación, y así no se forma de una jerarquía de hiperoperaciones.

n Operación Comentario
0
1
2 Esto es debido a las propiedades de los logaritmos.
3 Una forma conmutativa de potenciación.
4 No debe confundirse con tetración.

Ver también[editar]

  • Grandes números

Notas[editar]

  1. Sucesiones similares a la sucesión de hiperoperaciones han sido referidas históricamente de varias maneras, incluyendo: la función de Ackermann,[1][2]​ la jerarquía de Grzegorczyk[3][4]​ (que es más general), versión de Goodstein de la función de Ackermann,[5]operación de n-ésimo grado,[6]potenciación iterada de x con y,[7]operaciones flecha,[8]reihenalgebra[9]​ e hiper-n.[1][9][10][11][12]
  2. a b c Sea x = a[n](-1).

Referencias[editar]

  1. a b c Daniel Geisler (2003). «What lies beyond exponentiation?». Consultado el 17 de abril de 2009. 
  2. Harvey M. Friedman (Jul 2001). «Long Finite Sequences». Journal of Combinatorial Theory, Series A 95 (1): 102-144. doi:10.1006/jcta.2000.3154. Consultado el 17 de abril de 2009. 
  3. Manuel Lameiras Campagnola and Cristopher Moore and José Félix Costa (Dec 2002). «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory». Journal of Complexity 18 (4): 977-1000. doi:10.1006/jcom.2002.0655. Consultado el 17 de abril de 2009. 
  4. Marc Wirz (1999). «Characterizing the Grzegorczyk hierarchy by safe recursion». CiteSeer. Consultado el 21 de abril de 2009. 
  5. a b c d R. L. Goodstein (Dec 1947). «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory». Journal of Symbolic Logic 12 (4): 123-129. JSTOR 2266486. doi:10.2307/2266486. 
  6. a b c d Albert A. Bennett (Dec 1915). «Note on an Operation of the Third Grade». Annals of Mathematics. Second Series 17 (2): 74-75. JSTOR 2007124. doi:10.2307/2007124. 
  7. a b Paul E. Black (16 de marzo de 2009). «Ackermann's function». Dictionary of Algorithms and Data Structures. U.S. National Institute of Standards and Technology (NIST). Consultado el 17 de abril de 2009. 
  8. J. E. Littlewood (Jul 1948). «Large Numbers». Mathematical Gazette 32 (300): 163-171. JSTOR 3609933. doi:10.2307/3609933. 
  9. a b Markus Müller (1993). «Reihenalgebra». Consultado el 17 de abril de 2009. 
  10. a b c Robert Munafo (November 1999). «Inventing New Operators and Functions». Large Numbers at MROB. Consultado el 17 de abril de 2009. 
  11. a b A. J. Robbins (November 2005). «Home of Tetration». Archivado desde el original el 13 de junio de 2015. Consultado el 17 de abril de 2009. 
  12. a b I. N. Galidakis (2003). «Mathematics». Consultado el 17 de abril de 2009. 
  13. a b C. A. Rubtsov and G. F. Romerio (December 2005). «Ackermann's Function and New Arithmetical Operation». Consultado el 17 de abril de 2009. 
  14. a b G. F. Romerio (21 de enero de 2008). «Hyperoperations Terminology». Tetration Forum. Consultado el 21 de abril de 2009. 
  15. a b Wilhelm Ackermann (1928). «Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen». Mathematische Annalen 99: 118-133. doi:10.1007/BF01459088. 
  16. Robert Munafo (3 de noviembre de 1999). «Versions of Ackermann's Function». Large Numbers at MROB. Consultado el 17 de abril de 2009. 
  17. J. Cowles and T. Bailey (30 de septiembre de 1988). «Several Versions of Ackermann's Function». Dept. of Computer Science, University of Wyoming, Laramie, WY. Consultado el 17 de abril de 2009. 
  18. Donald E. Knuth (Dec 1976). «Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness». Science 194 (4271): 1235-1242. PMID 17797067. doi:10.1126/science.194.4271.1235. Consultado el 21 de abril de 2009. 
  19. Daniel Zwillinger (2002). CRC standard mathematical tables and formulae, 31st Edition. CRC Press. p. 4. ISBN 1-58488-291-3. 
  20. Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics, 2nd Edition. CRC Press. pp. 127-128. ISBN 1-58488-347-2. 
  21. K. K. Nambiar (1995). «Ackermann Functions and Transfinite Ordinals». Applied Mathematics Letters 8 (6): 51-53. doi:10.1016/0893-9659(95)00084-4. 
  22. a b John Donner; Alfred Tarski (1969). «An extended arithmetic of ordinal numbers». Fundamenta Mathematicae 65: 95-127.