Hexágono

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Hexágono irregular

En geometría plana elemental, un hexágono[1] [2] o exágono (esta última versión sin "h" está en desuso, ya no está recogida en el DRAE) es un polígono de seis lados y seis vértices. Su nombre deriva del griego ἑξάγωνον (de ἕξ, "seis" y γωνία, "ángulo").

Propiedades[editar]

Un hexágono tiene 6 lados y 9 diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la fórmula para determinar el número de diagonales de los polígonos convexos,[3] n_d=\frac{n(n-3)}{2}, donde  n \ge 3 y n representa el número de vértices; siendo el número de vértices n=6, tenemos:

n_6=\tfrac{6(6-3)}{2}=9

La suma de todos los ángulos internos de cualquier hexágono es 720 grados ó 4\pi radianes. Se usa la fórmula  \sigma_i = 2R(n-2). O bien la suma de los ángulos internos de un polígono convexo cualquiera es igual a dos rectos (2R = 180º) por el número n de lados menos 2.[4]

Parhexágono[editar]

Siguiendo el hilo de un paralelogramo, un parhexágono o parexágono es aquel hexágono particular, en el que un lado es igual y paralelo a un lado opuesto, pero cada par de estos lados es de diferente tamaño.[5]

Proposición[editar]

Sea ABCDEF un hexágono irregular cualquiera, se unen A con C; B con D; C con E; D con F; E con A; F con B. Se forman los seis triángulos ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB. En cada uno de ellos se localiza su baricentro; que se denotan como A', B', C', D', E', F'. Se unen sucesivamente dichos puntos, el hexágono A'B'C'D'E'F' es un parhexágono.[6]

Hexágono regular[editar]

Hexágono regular

El hexágono regular es un polígono convexo con seis lados iguales y seis ángulos iguales.

El hexágono regular tiene las siguientes propiedades:

  • Sus ángulos internos son congruentes midiendo 120° ó \frac{2\pi}{3} rad. Resultado de  A_i = \frac{180(6-2)}{6}
  • Cada ángulo externo del hexágono regular mide 60° ó \frac{\pi}{3} rad.
  • Está íntimamente relacionado con los triángulos equiláteros:
    • Uniendo cada vértice con su opuesto, el hexágono regular queda dividido en seis triángulos equiláteros.
    • Numérense los vértices de 1 a 6 en el sentido horario. Uniendo los vértices impares se obtiene un triángulo equilátero; uniendo los vértices pares se obtiene otro.
  • Además de los cuadrados y los triángulos equiláteros, los hexágonos regulares congruentes (o iguales) son los terceros polígonos regulares que se pueden juntar para revestir totalmente una superficie plana sin dejar ningún vano.
  • Las seis raíces sextas de 1 o los números complejos que resuelven la ecuación  z^6 -1 = 0 están en los vértices de un hexágono regular ubicado en el plano complejo, siendo el primer vértice el punto (1,0).[7]
  • Un hexágono regular es inscriptible y circunscribible en una circunferencia. Caben las igualdades:
l_6 = r \frac{2}{3}\sqrt{3} , r es el radio del círculo inscrito.
l_6 = R  , R es el radio del círculo circunscrito.
 r = \frac{R}{2}\sqrt{3} = \frac{l_6}{2}\sqrt{3} [8]
  • Las perpendiculares trazadas por los puntos medios del hexágono regular y las bisectrices de los ángulos internos del hexágono regular son ejes de simetría del mismo.[9]

Perímetro[editar]

Su perímetro es seis veces la longitud de su lado.

P = n\cdot l_n = 6\ l_6, donde n es el número de lados y  l_n, la longitud del lado.

Área[editar]

Área del exágono regular

Si se conoce la longitud del apotema a6 del polígono, una alternativa para calcular el área es:

A = \frac{P\cdot a_p}{2} = \frac{6l_6\cdot a_p}{2} = 3l_6 \cdot a_p

o

A = 2\sqrt{3}\cdot a_p^2

Si sólo conocemos el lado l6 podemos calcular el área con la siguiente fórmula:

A = l_6^2 \frac{3\sqrt{3}}{2}, que equivale a las áreas de seis triángulos equiláteros que se obtienen al unir el centro con los seis vértices.

Construcción geométrica[editar]

Construcción geométrica de un hexágono regular.

Un hexágono regular puede construirse utilizando únicamente una regla y compás:

  1. Dado un punto O cualquiera, trazar una circunferencia cuyo radio sea igual al lado del hexágono a construir;
  2. Elegir un punto A sobre la circunferencia y trazar un diámetro que cruce O y A. Marcar el otro punto donde este diámetro interseca la circunferencia como D;
  3. Apoyando el compás en el punto A, trazar un arco que cruce O, cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como B y F;
  4. Apoyando el compás en el punto D, trazar un arco que cruce O, cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como C y E

En la naturaleza[editar]

Los panales están construidos con formas hexagonales.

La Francia continental o parte metropolitana de Francia recibe el sobrenombre de Hexágono (l'Hexagone en francés), por tener una forma vagamente hexagonal.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española (2005). «hexágono». Diccionario panhispánico de dudas (1.ª edición).
  2. Real Academia Española (2014). «hexágono». Diccionario de la lengua española (23.ª edición). Madrid: Espasa. 
  3. Goñi. Geometría. Ediciones Ingeniería, Lima- Perú
  4. Pogorélov. Geometría elemental. Editorial Mir, Moscú (1974); traducido del ruso por Carlos Vega
  5. Kasner- Newman. Matemáticas e maginación. Librería Hachete s.A., Buenos Aires (1944)
  6. Kasner-Newman. Op. cit.
  7. César A. Trejo. Variable compleja
  8. Edgar de Alencar Filho. Exercícios de geometría plana
  9. Pogorélov. Op. cit.

Enlaces externos[editar]