Grupoide de Lie

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Un grupoide de Lie es un grupoide donde ambos, el grupoide y el espacio base son variedades y las funciones origen y final son funciones diferenciables cuya diferencial es suryectiva, es decir son sumersiones suryectivas. Esta definición generaliza la de grupo de Lie: los grupos de Lie son los grupoides de Lie donde el espacio base es trivial.

Definición[editar]

  • Un grupoide de Lie es un grupoide con base tal que
    • , son variedades diferenciales.
    • , las aplicaciones origen y final, son sumersiones sobreyectivas.
    • , la aplicación unidad, es diferenciable.
    • La multiplicación es diferenciable.

Observar que si denotamos la diagonal de , entonces . Como es una sumersión suryectiva, por el teorema de la función inversa obtenemos que es una subvariedad incrustada y cerrada de y hereda su estructura diferenciable. Esto nos dice que tiene sentido hablar de que el producto o multiplicación es diferenciable.

Ejemplos[editar]

  • Sea un fibrado vectorial y es lineal , es decir todas las transformaciones lineales entre fibras. Si , definimos , el origen de y , el destino de . Claramente Si , la composición sólo tiene sentido si . Si se define Entonces existe un producto definido como arriba. De esta forma es un grupoide con base , donde son las aplicaciones origen y final, respectivamente y la identidad es el isomorfismo identidad en cada fibra.
  • Sea una variedad diferenciable y un grupo de Lie. Entonces el grupoide trivial es un grupoide de Lie.