Geometría del taxista

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Distancia Manhattan contra distancia Euclideana: Las líneas roja, azul y amarilla tienen la misma longitud (12) en las geometrías Euclideana y taxicab. En la geometría Euclideana, la línea verde tiene longitud 6×√2 ≈ 8.48, y es el único camino más corto. En la geometría taxicab, la línea verde tiene longitud 12, por lo que no es más corta que los otros caminos.

La Geometría Taxicab, considerada por Hermann Minkowski en el siglo XIX, es una forma de geometría en la cual la métrica usual de la geometría euclideana es reemplazada por una nueva métrica en la cual la distancia entre dos puntos es la suma de las diferencias (absolutas) de sus coordenadas. La métrica taxicab también se conoce como distancia rectilínea, distancia L1 o norma \ell1 (ver Espacio Lp), distancia de ciudad, distancia Manhattan, o longitud Manhattan, con las correspondientes variaciones en el nombre de la geometría.[1] El último nombre alude al diseño de grilla de la mayoría de las calles de la isla de Manhattan, lo que causa que el camino más corto que un auto puede tomar entre dos puntos de la ciudad tengan la misma distancia que dos puntos en geometría Taxicab.

Descripción formal[editar]

La distancia Taxicab, d_1, entre dos vectores \mathbf{p}, \mathbf{q} en un espacio vectorial real n-dimensional con un sistema de Coordenadas cartesianas fijo es la suma de las longitudes de las proyecciones del segmento de línea entre los puntos sobre el sistema de ejes coordenados. Mas formalmente,

d_1(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \|\mathbf{p} - \mathbf{q}\|_1 = \sum_{i=1}^n |p_i-q_i|,

donde \mathbf{p}=(p_1,p_2,\dots,p_n)\, y \mathbf{q}=(q_1,q_2,\dots,q_n)\, son vectores.


Por ejemplo, en el plano, la distancia Taxicab entre (p_1,p_2) y (q_1,q_2) es | p_1 - q_1 | + | p_2 - q_2 |.

La distancia Taxicab depende de la rotación del sistema de coordenadas, pero no depende de su reflexión sobre un eje coordenado o su traslación. La geometría Taxicab satisface todos los axiomas de Hilbert (una formalización de la geometría Euclideana excepto por el axioma SAS), ya que uno puede generar dos triangulos con dos lados cada uno, y el ángulo entre ellos igual, y que no sean congruentes.

Círculos en geometry Taxicab discreta y continua.

Un círculo es un conjunto de puntos con una distancia fija, llamada radio, desde un punto llamado centro. En la geometría Taxicab, la distancia es determinada por una métrica diferente que en la geometría Euclideana, y la forma de los círculos también cambia. Los círculos Taxicab son cuadrados con los lados orientados en un ángulo de 45° con los ejes coordenados. La imagen de la derecha muestra por qué esto es así, mostrando en rojo el conjunto de todos los puntos con una distancia fija desde un centro, mostrado en azul. Mientras el tamaño de los bloques de ciudad disminuye, los puntos se vuelven más numerosos y se convierten en un cuadrado rotado en una geometría Taxicab continua. Mientras que cada lado tendría una longitudo √2r usando una métrica Euclideana, donde r es el radio del círculo, su longitud en geometría Taxicab es 2r. Por lo tanto, la longitud de la circunferencia es 8r. La fórmula para el círculo unitario en geometría Taxicab es \ |x| + |y| = 1 en coordenadas Cartesianas y r = 1 / (|sinθ| + |cosθ|) en coordenadas polares.

Un círculo de radio r por la distancia de Chebyshev (L) en un plano también es un cuadrado con lados de longitud 2r paralelas a los ejes coordenados, por lo que la distancia planar de Chebyshev puede ser vista como equivalente por rotación y escalación a la distancia planar Taxicab. Sin embargo, esta equivalencia entre métricas L1 y L no se cumple en dimensiones mayores.

El uso de la distancia Manhattan lleva a un concepto extraño: cuando la resolución de la geometría Taxicab es mayor, acercándose al infinito (el tamaño de la división de los ejes se aproxima a 0), parece intuitivo que la distancia Manhattan se acercaría a la métrica Euclideana. (\sqrt{{|x_1 - x_2|}^2 + {|y_1 - y_2|}^2}), pero no es así. Esto es, esencialmente, una consecuencia de ser forzado a adherirse a movimientos de un solo eje: cuando se sigue la métrica de Manhattan, uno no puede moverse diagonalmente (en más de un eje simultáneamente).

Cuando cada par en una colección de estos círculos tiene una intersección no vacía, existe un punto de intersección para toda la colección; por lo tanto, la distancia Manhattan forma un espacio métrico inyectivo.

Un círculo de radio 1 (usando esta distancia) es el vecindario von Neumann de su centro.

Medida de distancias en ajedrez[editar]

En el ajedrez, la distancia entre cuadrados en el tablero de ajedrez para las torres se mide en distancia Manhattan; reyes y reinas usan la distancia Chebyshev, y los alfiles usan la distancia Manhattan (entre cuadrados del mismo color) en el tablero rotado en 45 grados, es decir, con sus diagonales como ejes coordenados. Para ir de un cuadrado a otro, solo los reyes requieren tantos movimientos como el valor de la distancia; torres, reinas y alfiles requieren uno o dos movimientos (en un tablero vacío, y asumiendo que el movimiento es posible en el caso del alfil).

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]