Función zeta de Igusa

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En matemáticas, una función zeta de Igusa es un tipo de función generadora, que cuenta el número de soluciones de una ecuación, módulo p, p2, p3, y así sucesivamente

Definición[editar]

Para un número primo sea un cuerpo p-ádico, es decir , el anillo de valuación y el ideal máximo. Para expresa la valuación de , , y para un parámetro uniformizante de .

Sea una función Schwartz-Bruhat, es decir una función constante local con soporte compacto y sea un carácter de .

En este caso se asocia un polinomio no constante a la función zeta de Igusa

donde y es una medida de Haar normalizada de forma tal que posee una medida unitaria.

Teorema de Igusa[editar]

Junichi Igusa demostró que es una función racional en . La demostración utiliza el teorema de Heisuke Hironaka sobre la resolución de singularidades. Sin embargo, se sabe muy poco, en cuanto a formulas explícitas. (Existen algunos resultados sobre las funciones zeta de Igusa de variedades de Fermat.)

Congruencias módulo potencias de [editar]

Por tanto, sea la función característica de y el carácter trivial. Denótese por el número de soluciones de la congruencia

.

Entonces, la función zeta de Igusa

está relacionada con la serie de Poincaré

por

Referencias[editar]