Forzado de Sacks

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La técnica de forcing, introducida por Paul Cohen, es utilizada para generar modelos de ZFC. La técnica comienza con un modelo , conocido como modelo base, después fijando un orden parcial , conocido como forcing, que codifica las condiciones deseadas del modelo que se desea construir, entonces se fuerza con sobre para obtener un modelo genérico .

El forcing de Sacks, denotado por , es uno de estos órdenes parciales. Fue introducido en 1971 por el matemático estadounidense Gerald Enoch Sacks para producir un real a con mínimo grado real de constructibilidad (minimal real degree of constructibility). También es conocido como forcing de árboles perfectos.

Definición del forcing de Sacks[editar]

Para definir el forcing de Sacks, primero debemos definir la noción de árboles perfectos (un árbol de es un conjunto de funciones finitas de en cerrado bajo segmentos iniciales de tal manera que para cualquier función en el conjunto de antecesoras es un orden lineal). Sea un árbol y , decimos que es un nodo de ramificación (nodo splitting) de si , . Por otra parte es un árbol perfecto o un árbol de Sacks si y es nodo de ramificación.

De esta manera el forcing de Sacks, denotado , es el conjunto de todos los árboles de Sacks ordenado por la contención, es decir, dados , se cumple que .

Real de Sacks[editar]

Dado un árbol de , denotamos por al conjunto de las ramas de , es decir, .

Sea un filtro genérico. En se define al real de Sacks, , como el único elemento de . Como su nombre lo indica .

Es conocido que dado , entonces si y solo si . Con lo cual y son interdefinibles, lo cual implica que .

Más que lo anterior se cumple dados un filtro -genérico y un real nuevo, existe filtro -genérico tal que y con lo cual por tanto tiene mínimo grado de constructibilidad real.

Propiedades del forcing de Sacks[editar]

  • No es un forcing c.c.c. (es decir, no satisface la condición de cadena contable).
  • Tiene estructura de axioma A, también conocido como axioma de Baumgartner. Para verificar esto, primero para cada denotamos y . Ahora, dados , , se define si y solo si y . Con esta estructura, es axioma A.
  • No colapsa a .
  • Es forcing propio.
  • Es bounding.
  • Tiene la propiedad de Sacks
  • Preserva p-puntos
  • No añade splitting reals
  • Preserva ultrafiltros de Ramsey

El modelo de Sacks[editar]

Dado un ordinal, es la iteración de longitud de con soporte numerable, de este modo, el modelo de Sacks es el modelo obtenido al forzar con sobre un modelo de CH.

Bibliografía[editar]

Halbeisen L. J. (2012). Combinatorial Set Theory. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4471-2173-2

Geschke S., Quickert S. (2004) On Sacks forcing and the Sacks property. In: Löwe B., Piwinger B., Räsch T. (eds) Classical and New Paradigms of Computation and their Complexity Hierarchies. Trends in Logic, vol 23. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-1-4020-2776-5_7