Factorización

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En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA.

Factorizar un polinomio[editar]

Un polinomio de grado n puede factorizar en un producto de polinomios de grado n_i \le n con  1 \le i \le n y \sum_{i\in I}n_i = m.

Por ejemplo el polinomio P(x) de grado 5 se puede factorizar como producto de un polinomio de grado 3 y un polinomio de grado 2:

P(x) = x^5-x^3+69x^2-20x+16 = (x^3+4x^2-x+1)(x^2-4x+16)

Factor Común Monomio[editar]

Se trata de extraer un monomio como factor común a cada uno de los términos de un polinomio.

El procedimiento empieza por extraer el Máximo Común Divisor (M.C.D.) de los coeficientes del polinomio:

Ejemplo:

12y^3 x^2 + 30x^5 y^3 - 18m^3 x y^4

Los coeficientes sin sus respectivos signos son: 12, 30 y 18. El M.C.D. de ellos es 6, luego dividimos cada uno de los coeficientes entre el número 6 por lo tanto se puede expresar que:

 6(2y^3 x^2 + 5x^5 y^3 - 3m^3 x y^4)

Luego debemos identificar que variables o literales poseen en común todos los términos, y observamos que todos los términos cuentan con las variables "x" e "y", excepto "m" que no está en todos. Luego de identificar la variables comunes debemos observar cual es el menor exponente al que esta elevada la variable en los términos en cuestión; y podemos observar que el exponente menor de "x" es 1 y el menor exponente de "y" es 3. Por lo tanto podemos extraer como factor común también a  x y^3 . Para hacerlo debemos dividir cada término entre  x y^3 . Quedando la expresión factorizada de la siguiente forma:

  6x y^3 (2x + 5x^4 - 3m^3 y)

Factorización por Agrupación de Términos[editar]

La factorización por agrupación de términos puede utilizarse en polinomios con un número de términos par y mayor o igual a 4. Debe buscarse en este caso de factorización parejas de términos que tengan en común un factor. Ejemplo:

 -6xy + 2mp + 4my - 3xp

Observamos por ejemplo que podemos agrupar los términos  - 6xy , y  + 4my porque poseen en común la "y", y sobran los términos  + 2mp y  - 3xp que tienen también en común la "p". Quedando expresado de la siguiente forma:

 (- 6xy + 4my) + (+2mp - 3xp)

Luego se saca el factor común de ambos, así:

 2y(- 3x + 2m) + p(+2m - 3x)

Luego observamos las expresiones que se encuentran dentro del paréntesis las cuales si las reordenamos según la propiedad conmutativa para suma, obtendremos lo siguiente:

 2y(+2m - 3x) + p(+2m - 3x)

Se observa de nuevo que está en común el factor (+2m - 3x), luego también puede sacarse como factor común a ambas expresiones o agrupaciones de términos, quedando al final la factorización así:

 (+2m - 3x)(2y + p)

Factorización por Tanteo Simple[editar]

La factorización por tanteo simple es útil en casos de ciertos trinomios, en los cuales el coeficiente principal es 1. En el procedimiento es necesario expresar siempre de forma canónica el polinomio y descomponer el último término en sus diferentes factores. Ejemplo:

 x^2 + 6x - 16

Factores de -16 resultado de su suma
+16 -1 +15
-16 +1 -15
+8 -2 +6
-8 +2 -6
+4 -4 0
-4 +4 0

Luego se escoge la combinación de factores de -16 cuya suma tenga por resultado el coeficiente del término medio que es +6. Se observa que esos factores son +8 y -2, por lo tanto se colocan de la siguiente manera:

 (x + 8)(x - 2)

Factorización Por Tanteo Especial[editar]

Este tipo de método sirve también para poder factorizar ciertos trinomios, en los cuales el término principal es un número entero distinto de 0, +1 o -1. Se puede intentar realizar este método por tanteo propiamente dicho, pero podría resultar muy tedioso en algunos casos, por lo tanto se mostrará aquí un método sencillo de realizar. Ejemplo:

 + 6x^2 - 5x - 4

En este caso se toman los coeficientes que están en los términos de los extremos del trinomio, que en este caso son +6 y -4; luego estos se descomponen en sus distintos factores posibles ubicándolos en un cuadro de forma que los factores del coeficiente principal (+6) estén en la fila, y los factores del último término (-4) estén en la columna de la siguiente manera:

Factores 1 6 2 3
1
4
2
2

Luego de ubicar correctamente los factores y ubicarlos en el grupo correctamente, se procede a multiplicar los factores de forma cruzada así:

Factores 1 6 2 3
1 1 6 2 3
4 4 24 8 12
2 2 12 4 6
2 2 12 4 6

Luego se multiplica el signo del primer término por el signo del último término de nuestro trinomio, que en este caso es (+)(-) = -. Por lo tanto como el signo resultante es -, se escogerá dentro del cuadro las parejas de números cuya "resta" de el coeficiente del término medio (-5). (En el caso que el resultado de la multiplicación de los signos hubiese dado +, se hubiese buscado que la "suma" de las parejas de números diesen como resultado el coeficiente del término medio) Si se observa dentro de la tabla esos números son dos parejas: (1, 6) y (3, 8). Las cuales se muestran agrandadas y en negrita:

Factores 1 6 2 3
1 1 6 2 3
4 4 24 8 12
2 2 12 4 6
2 2 12 4 6

Luego solo una de estas parejas es la correcta, y esta es en la que ambos números no se encuentran en la misma fila, ni en la misma columna; estos números son 3 y 8. Luego se observa cual de estos debe tener signo negativo para realizar la resta adecuada y se deduce que debe ser el siguiente arreglo: 3 - 8 = - 5, después se deduce que si 8 es negativo uno de sus factores debe ser negativo y este debe ser también el factor de 4 que lo produjo que es 4. Por lo Tanto la tabla quedaría así:

Luego deben expresarse estos factores de +6 y -4 encontrados por este método correspondientes a -8 y 3, de forma cruzada así como se muestra en el resultado: Se ubican en primer lugar los factores de 6 que se encontraban en las columnas, como coeficientes de las "x" y luego de forma cruzada los factores de 4 que se encontraban en las filas.  (2x + 1)(3x - 4)

Diferencia de Cuadrados[editar]

Se trata de factorizar un binomio de la forma  x^2 - y^2

Este método parte del método de factorización por agrupación de términos:

Se procede así  x^2- y^2 =  x^2 + xy - xy- y^2 sumando y restando el mismo monomio

   x^2 + xy - xy- y^2 =  (x^2 + xy) - (xy+ y^2) agrupando en binomios

     (x^2 + xy) - (xy+ y^2) = x(x+y) - y(x+y) factor común en cada paréntesis

     x(x+y) - y(x+y) = (x+y) (x-y) factor común binomio

  x^2- y^2  = (x+y) (x-y) resultado de la factorización. [1]


Como ejemplo factorizar (x^2 +y^2 )^2 - (2xy)^2 resulta

 (x^2 +y^2 )^2 - (2xy)^2 = (x^2+ y^2 +2xy) (x^2+ y^2-2xy) finalmente

  (x^2- y^2 +2xy) (x^2- y^2-2xy) = (x+y)^2(x-y)^2

Diferencia de Cubos[editar]

La diferencia de cubos es un método que se utiliza en binomios cuyas potencias son múltiplos de 3, y cuyos signos de sus coeficientes son opuestos. De la siguiente manera:

Factores 1 6 2 3
1 1 6 2 3
- 4 4 24 - 8 12
2 2 12 4 6
 x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)
Operando se tiene:

(x-y)(x^2+xy+y^2) = x(x^2+xy+y^2)-y(x^2+xy+y^2)= x^3+x^2y+xy^2-x^2y-xy^2-y^3=  x^3-y^3

Ejemplo:

 8m^6 - 27n^3

entonces los factores son x=2m^2 y y=3n.

Suma de Cubos[editar]

Se utiliza este método para factorizar binomios cuyas potencias son múltiplos de 3, y cuyos signos de sus coeficientes son iguales. De la forma siguiente:

 (x^3 + y^3) = (x + y)(x^2 - xy + y^2)

Ejemplo: factorice el siguiente binomio

 64m^6y^3 + 1

En primer lugar debe extraerse la raíz cúbica de cada término de la siguiente forma:

 \sqrt[3]{+64m^6y^3} = +4m^2y

 \sqrt[3]{+1} = +1

Luego deben ubicarse los resultados obtenidos según la fórmula:

 (x^3 + y^3) = (x + y)(x^2 - xy + y^2)

 ((+4m^2y)^3 + (+1)^3) = (+4m^2y + 1)((+4m^2y)^2 - (+4m^2y)(+1) + (+1)^2)

 (64m^6y^3 + 1) = (+4m^2y + 1)(16m^4y^2 - 4m^2y + 1)

Factorización Utilizando La Fórmula Cuadrática[editar]

Es la forma en como se puede factorizar cualquier tipo de trinomio de grado 3, o extrapolándolo a trinomios cuyas diferencias entre sus potencias sea constante, es decir:

 ax^{n+2k} + bx^{n+k} + cx^n

Ejemplo: factorice el siguiente trinomio

 3x^5 - 3x^3 - 5x

En primer lugar aplicamos el factor común monomio, así:

 x(3x^4 - 3x^2 - 5)

Luego hacemos una sustitución lógica e la siguiente forma: u = x^2. Por lo cual nuestro problema puede expresarse de la siguiente manera:

 x(3u^2 - 3u - 5)

Luego se aplica la fórmula cuadrática para esta situación:

\displaystyle u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

De lo cual se obtienen las siguientes raíces:

\displaystyle u = \frac{3 \pm \sqrt{69}}{6}.

Luego se ubican estas raíces con su signo opuesto formando parte de los factores en forma de binomios así:

 \displaystyle x(u - \frac{3 + \sqrt{69}}{6})(u - \frac{3 - \sqrt{69}}{6})

Luego se sutituye la u por su valor real: u = x^2

 \displaystyle x(x^2 - \frac{3 + \sqrt{69}}{6})(x^2 - \frac{3 - \sqrt{69}}{6})

A partir de este punto se pueden utilizar otros métodos como diferencia de cuadrados, quedando expresada la factorización de la siguiente manera:

 \displaystyle x(x - \sqrt{\frac{3 + \sqrt{69}}{6}})(x + \sqrt{\frac{3 + \sqrt{69}}{6}})(x - \sqrt{\frac{3 - \sqrt{69}}{6}})(x + \sqrt{\frac{3 - \sqrt{69}}{6}})

Usos[editar]

La factorización se emplea en:

  • La resolución de una ecuación algebraica P(x); usualmente se considera el factor x-a y se tantea mediante la división sintética de Ruffini. Si el resto es cero, cabe la igualdad P(x)= H(x)(x-a). Y se reitera el procedimiento.
  • La adición de fracciones algebraicas.[2]
  • Integración de funciones racionales, para lo cual se descompone en fracciones parciales. [3]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. González- Mancill Álgebra elemental moderna
  2. González -Mancil. Álgebra elemental moderna
  3. Piskunov. Cálculo diferencial e integral

Fuente original[editar]

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]