Facetado

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Stella octangula como facetado del cubo

En geometría, el facetado es el proceso de eliminar partes de un polígono, poliedro o politopo, sin crear ningún vértice nuevo.

Se pueden crear nuevas aristas de un poliedro facetado a lo largo de las diagonales faciales o las diagonales espaciales internas. Un poliedro facetado tendrá dos caras por cada arista del poliedro original, generando nuevos poliedros o compuestos de poliedros.

El facetado es el proceso recíproco o dual de la estelación. Para cada estelación de un politopo convexo, existe el correspondiente facetado del politopo dual.

Polígonos facetados[editar]

Por ejemplo, un pentágono regular posee un facetado simétrico, el pentagrama; y el hexágono regular posee dos facetados simétricos, uno como un polígono y otro como el compuesto de dos triángulos.

Pentágono Hexágono Decágono
Regular polygon 5.svg Regular polygon truncation 3 1.svg Regular polygon truncation 5 1.svg
Pentagrama
{5/2}
Hexágono
estelado
Compuesto
2 {3}
Decagrama
{10/3}
Compuesto
2 {5}
Compuesto
2 {5/2}
Decágono estelado
Regular star polygon 5-2.svg Regular polygon truncation 3 2.svg Regular star figure 2(3,1).svg Regular star polygon 10-3.svg Regular star figure 2(5,1).svg Regular star figure 2(5,2).svg Regular polygon truncation 5 2.svg Regular polygon truncation 5 3.svg Regular star truncation 5-3 2.svg Regular star truncation 5-3 3.svg

Poliedros facetados[editar]

El icosaedro regular se puede facetar en tres poliedros de Kepler-Poinsot regulares: el pequeño dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro y el gran icosaedro. Todos tienen 30 aristas.

Convexo Estrellas regulares
Icosaedro Gran dodecaedro Pequeño dodecaedro estrellado Gran icosaedro
Icosahedron.png Great dodecahedron.png Small stellated dodecahedron.png Great icosahedron.png

El dodecaedro regular puede ser facetado en un poliedro de Kepler-Poinsot regular, tres poliedros estelados uniformes y tres compuestos poliédricos regulares. Las formas esteladas uniformes y el compuesto de cinco cubos están construidos por diagonales faciales. El dodecaedro excavado es un facetado con caras hexagonales en forma de estrella.

Convexo Estrella regular Estrellas uniformes Vértice transitivo
Dodecaedro Gran dodecaedro estrellado Pequeño icosi-dodecaedro ditrigonal Dodeca-dodecaedro ditrigonal Gran icosi-dodecaedro ditrigonal Dodecaedro excavado
Dodecahedron.png Great stellated dodecahedron.png Small ditrigonal icosidodecahedron.png Ditrigonal dodecadodecahedron.png Great ditrigonal icosidodecahedron.png Excavated dodecahedron highlighted.png
Convexo Compuestos regulares
Dodecaedro Cinco tetraedros Cinco cubos Diez tetraedros
Dodecahedron.png Compound of five tetrahedra.png Compound of five cubes.png Compound of ten tetrahedra.png

Historia[editar]

Facetados de un icosaedro (obteniendo las formas de un gran dodecaedro) y de un pentaquisdodecaedro, en el libro de Jamnitzer

El facetado no se ha estudiado tan ampliamente como la estelación.

Referencias[editar]

  1. Mathematical Treasure: Wenzel Jamnitzer's Platonic Solids by Frank J. Swetz (2013): "In this study of the five Platonic solids, Jamnitzer truncated, stellated, and faceted the regular solids [...]"

Bibliografía[editar]

  • Bertrand, J. Note sur the théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46 (1858), pp.   79-82.
  • Bridge, NJ Facetar el dodecaedro, Acta crystallographica A30 (1974), pp. 548–552.
  • Inchbald, G. Diagramas de facetas, The Gaceta matemática, 90 (2006), pp. 253–261.
  • Alan Holden, Formas, espacio y simetría . Nueva York: Dover, 1991. p.94

Enlaces externos[editar]