Fórmula de d'Alembert

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La fórmula de D'Alembert es la solución general de la ecuación de onda, una ecuación en derivadas parciales hiperbólica, en un espacio de una dimensión.

para . Fue descubierta por el matemático Jean le Rond d'Alembert.

Las características de esta ecuación son , por lo que usamos el cambio de variables para transformar la ecuación en . La solución general a esta última es donde y son funciones . En términos de las coordenadas originales,

donde es si y son .

Esta solución puede interpretarse como suma de dos ondas de velocidades que se desplazan en direcciones opuestas a lo largo del eje x.

Considérese ahora el problema con las condiciones iniciales de Cauchy .

Usando obtenemos .

Usando obtenemos .

Al integrar la última ecuación obtenemos

Las soluciones del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones última y antepenúltima son

Ahora, usando

obtenemos la fórmula de d'Alembert:

Bibliografía adicional[editar]

  • Chester, C. (1971). Techniques in Partial Differential Equations (en inglés). McGraw-Hill. Capítulo 2. 

Enlaces externos[editar]

  • Un ejemplo de como resolver una ecuación de onda no homogénea desde www.exampleproblems.com