Fórmula de Leibniz para el cálculo de determinantes

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En álgebra lineal, la fórmula de Leibniz expresa el determinante de una matriz cuadrada en términos de permutaciones de los elementos de la matriz. Nombrado en honor de Gottfried Leibniz, la fórmula para una matriz de orden es:

donde

y donde sgn es la función signo de permutaciones en el grupo de permutación Sn que devuelve +1 y −1 para permutaciones pares e impares, respectivamente.

Otra notación común usada para la fórmula utiliza símbolos de Levi-Civita y la notación de Einstein, quedando:

que puede ser más familiar para los físicos.

Evaluar directamente la fórmula de Leibniz requiere operaciones en general —es decir un número de operaciones asintóticamente proporcional a n factorial— ya que n! es el número de permutaciones de orden n. En la práctica resulta difícil para valores de n grandes. En su lugar, el determinante se puede evaluar en O(n)3 operaciones mediante la descomposición LU] de la matriz (normalmente a través de la eliminación gaussiana o métodos similares), en cuyo caso y los determinantes de las matrices triangulares L y U son simplemente los productos de las entradas de sus diagonales principales (en la práctica de álgebra lineal, sin embargo, rara vez se requiere el cálculo explícito del determinante). Ver, por ejemplo, Trefethen y Bau (1997).

Declaración formal y prueba[editar]

Teorema. existe exactamenta una función:

que es alterna multilineal columnas w.r.t. y de tal manera que .

Prueba.

Singularidad: Sea una función de este tipo, y sea una matriz. Llámese la -la columna de , i.e. de modo que

También, sea la columna-vector de la matriz de identidad.

Ahora se escribe cada uno de los 's en términos de la , por ejemplo:

.

Como es multilineal, uno tiene

A partir de la alternativa se sigue que cualquier plazo con índices repetidos es cero. Por consiguiente, la suma puede ser restringido a las tuplas con índices que no se repiten, es decir, permutaciones:

Debido a que F es alterna, las columnas pueden ser cambiadas hasta que se convierte en la identidad. La [[también permutaciones impares|Función signo]] se define para contar el número de intercambios necesarios y cuenta para el cambio de signo resultante. Uno finalmente obtiene:

Como se requiere para ser igual a .

Por lo tanto ninguna función además de la función definida por la fórmula Leibniz es una función de alternación multilineal .

Existencia: Vamos a demostrar que F, dond F es la función definida por la fórmula de Leibniz, tiene estas tres propiedades.

Multilineal

Alterna:

Para cualquier permite ser igual a la tupla con el los índices cambiaron.

Por lo tanto, si entonces .

Finalmente, :

Así, las únicas funciones que son multilineal que alternan con se restringen a la función definida por la fórmula Leibniz, y que de hecho, también tiene estas tres propiedades. Por lo tanto el determinante se puede definir como la única función:

con estas tres propiedades.

Véase también[editar]

Referencias[editar]