Experimento de Cavendish

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El experimento de Cavendish o de la balanza de torsión permitió obtener implícitamente la primera medida de la constante de gravitación universal G y, con este dato, a partir de la ley de gravitación universal de Newton y de las características orbitales de los cuerpos del Sistema Solar, la primera determinación de la masa de los planetas y del Sol.

Debe señalarse que contrariamente a lo que se ha venido afirmando en algunos textos de física, Cavendish no calculó esta constante (ya que no la necesitaba para sus mediciones; esto se hizo mucho después, aprovechando sus experiencias), pues su objetivo era determinar la densidad de la Tierra, lo que consiguió lograr con una precisión excepcional para su época.[1]

La constante gravitacional no aparece en el artículo de Cavendish y no hay indicio de que hubiese vislumbrado este cálculo como propósito experimental. Una de las primeras referencias a G apareció en 1873, 75 años después del trabajo de Cavendish.[2]


Historia[editar]

Una versión inicial del experimento fue propuesta por John Michell, quien llegó a construir una balanza de torsión para estimar el valor de la constante de gravitación universal. Sin embargo, murió en 1793 sin poder completar su experimento y el instrumento que había construido fue heredado por Francis John Hyde Wollaston, quien, a su vez, se lo entregó a Henry Cavendish.

Cavendish se interesó por la idea de Michell y reconstruyó el aparato, realizando varios experimentos muy cuidadosos con el fin de determinar la densidad media de la Tierra. Sus informes aparecieron publicados en 1798 en la publicación Philosophical Transactions de la Royal Society.

El Experimento[editar]

Dibujo de la sección vertical de la balanza de torsión de Cavendish, incluyendo el recinto en la que estaba ubicada. Las esferas grandes estaban suspendidas de un bastidor, de forma que se podían orientar desde el exterior respecto a las esferas pequeñas mediante un sistema de poleas. Figura 1 del escrito de Cavendish.
Detalle mostrando el brazo de la balanza de torsión (m), esfera grande (W), esfera pequeña (x), y recinto aislado (ABCDE).

El instrumento construido por Cavendish consistía en una balanza de torsión con una brazo horizontal de madera de seis pies (1,8288 m) de longitud, de cuyos extremos colgaban dos esferas de plomo de idéntica masa. Esta vara colgaba suspendida de un largo hilo. Cerca de las esferas, Henry Cavendish dispuso dos esferas de plomo de unos 175 kg cada una, cuya acción gravitatoria debía atraer las masas de la balanza produciendo un pequeño giro sobre ésta. Para impedir perturbaciones causadas por corrientes de aire, Cavendish emplazó su balanza en una habitación a prueba de viento y midió la pequeña torsión de la balanza utilizando un pequeño telescopio.

Las dos grandes esferas de plomo se colocaban en lados alternos del brazo de madera horizontal de la balanza. La atracción mutua sobre las pequeñas bolas hacía que el brazo girase, torciendo a su vez el alambre de soporte del brazo. El brazo dejaba de girar cuando alcanzaba un ángulo donde la fuerza de torsión del alambre equilibraba la fuerza gravitacional combinada de la atracción entre las esferas de plomo grandes y las pequeñas. Midiendo el ángulo de giro de la varilla, y conociendo la fuerza de torsión (par) del alambre para un ángulo dado, Cavendish fue capaz de determinar la fuerza de atracción entre los dos pares de masas. Puesto que la fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre cada bola pequeña podía medirse directamente por pesada, la relación de las dos fuerzas permitió calcular la densidad de la Tierra, usando la ley de la gravitación universal de Newton.

Cavendish dedujo que la densidad de la Tierra era de 5.448 ± 0.033 veces la del agua (debido a un error aritmético simple, detectado en 1821 por Francis Baily, el valor erróneo de 5,48 ± 0,038 aparece en el escrito de Cavendish).[3]

Para determinar el módulo de torsión del hilo (es decir, el par ejercido por el alambre para un determinado ángulo de giro), Cavendish cronometró el periodo de oscilación de la varilla de la balanza, haciéndola girar lentamente en sentido horario y en sentido antihorario contra la torsión del alambre. El periodo era de unos 20 minutos. El módulo de torsión podía calcularse a partir de este dato, conociendo la masa y las dimensiones de la balanza. En realidad, la varilla no estaba en reposo; Cavendish tenía que medir el ángulo de desviación de la varilla mientras que estaba oscilando.[4]

El equipo diseñado por Cavendish era extraordinariamente sensible para su época.[3] La fuerza de torsión involucrada en hacer girar la balanza era muy pequeña, del orden de 1,74 x 10-7 N,[5] alrededor de 1/50.000.000 del peso de las bolas pequeñas, [6] o aproximadamente el peso de un gran grano de arena.[7]

Para evitar que las corrientes de aire y los cambios de temperatura pudieran interferir con las mediciones, Cavendish puso todo el aparato dentro de una caja de madera de 2 pies (0,6096 m) de grueso, 10 pies (3,048 m) de alto, y 10 pies (3,048 m) de ancho, todo ello en un cobertizo cerrado en su finca. A través de dos agujeros en las paredes de la caseta, Cavendish utilizaba unos telescopios para observar el movimiento de la barra horizontal de la balanza de torsión. El movimiento de la varilla era sólo de 0,16 pulgadas (4,064 mm).[8] Cavendish fue capaz de medir este pequeño desvío con una precisión de una centésima de pulgada usando escalas de vernier en los extremos de la barra. [9] La exactitud conseguida por Cavendish no se superó hasta que se realizaron los experimentos de Charles Vernon Boys en 1895. Con el tiempo, la balanza de torsión de Michell se convirtió en la técnica dominante para medir la constante gravitacional (G) y la mayoría de las mediciones contemporáneas siguen utilizando variaciones de la misma. Es por esto que el experimento de Cavendish se convirtió en el experimento de Cavendish. [10]

Formulación matemática[editar]

Diagrama de la balanza de torsión utilizada en el "experimento de Cavendish", realizado por el propio Henry Cavendish en 1798:
Se midió la fuerza de gravedad entre las masas M y m, calculándose la densidad de la Tierra.
Etiquetas: (M) masa de las bolas de plomo estacionarias, (m) masa de las bolas de plomo móviles, (F) fuerza gravitacional entre cada par de bolas, (\theta) ángulo de equilibrio respecto a posición neutra, (\kappa) módulo de torsión del alambre, (r) distancia entre los centros de las bolas cuando están en equilibrio, (L) distancia entre el alambre y cada una de las bolas pequeñas (longitud de la varilla: 2L).

El objetivo del experimento es medir el giro en la balanza de torsión producido por la fuerza de gravedad ejercida entre las esferas externas y las masas dispuestas en los extremos de la balanza, lo que permite deducir el valor de todas las fuerzas involucradas:

La fuerza de recuperación en la balanza (\tau), puede escribirse en función del ángulo girado sobre la posición de equilibrio, \theta, y del módulo de torsión del alambre k:

\tau=-k\theta \frac{}{}

El ángulo \theta puede ser medido mediante un espejo situado en la fibra de torsión. Si M representa la masa de las esferas exteriores y m la masa de las esferas en la balanza de torsión, se puede igualar la fuerza de torsión con la fuerza de la gravedad ejercida por las esferas mediante la fórmula:

\tau=2\frac{GMm}{r^2}L

donde G es la constante de gravitación universal, L es la distancia entre el hilo de torsión y las esferas m (es decir, el brazo del esfuerzo torsor); y por último r es la distancia entre los centros de las esferas M y m. Por lo tanto, combinando las ecuaciones anteriores, resulta que:

G=\frac{k\theta r^2}{2MmL}\qquad\qquad\qquad(1)\,

Se tiene que k puede medirse a partir del periodo de oscilación de la balanza de torsión, T. Por lo tanto, si:

T = 2\pi\sqrt{I/k}

y asumiendo que la masa de los elementos de la balanza de torsión es despreciable, el momento de inercia de la balanza es el de las dos bolas pequeñas:

I = m L^2 + m L^2 = 2mL^2\,

entonces:

T = 2\pi\sqrt{\frac{2mL^2}{k}}\,

Resolviendo esta ecuación para k, resulta:

k = \frac{4 \pi^2 (2 m L^2)}{T^2}\,

Sustituyendo esta expresión en (1), y despejando G, el resultado es:

G=\frac{4\pi^2r^2L\theta}{MT^2}

Una vez que se ha determinado G, la fuerza de atracción sobre un objecto en la superficie de la Tierra (mg), puede usarse para calcular la masa (M_T) y la densidad de la Tierra (\rho_T) conocido el radio terrestre (R_T):

mg = \frac{GmM_T}{R_T^2}\,

Masa de la Tierra:

M_T = \frac{gR_T^2}{G}\,

Densidad de la Tierra:

\rho_T = \frac{M_T}{(4/3)\pi R_T^3} = \frac{3g}{4 \pi R_T G}\,

Error común[editar]

Es común encontrar libros que señalan erróneamente que el propósito de Cavendish era determinar la constante gravitacional, G,[11] [12] [13] [14] [15] y este error ha sido señalado por diversos autores.[16] [1] [17] [18] En realidad, el único propósito de Cavendish era determinar la densidad de la Tierra. Él llamaba a esto «pesar el mundo». El método de Cavendish utilizado para calcular la densidad de la Tierra consistía en medir la fuerza sobre una pequeña esfera debida a una esfera mayor de masa conocida y comparar esto con la fuerza sobre la esfera pequeña debida a la Tierra. De esta forma se podía describir a la Tierra como N veces más masiva que la esfera grande sin necesidad de obtener un valor numérico para G.

En la época de Cavendish, G no tenía la importancia entre los científicos que ha tenido después. Esta constante era simplemente una constante de proporcionalidad en la ley de la gravitación universal de Newton.[19] En vez de eso, el propósito de medir la fuerza de gravedad era determinar la densidad terrestre. Esta cantidad era requerida en la astronomía del siglo XVIII, dado que, una vez conocida, las densidades de la Luna, el Sol y el resto de los planetas se podrían encontrar a partir de ella.[20]

Una complicación adicional fue que a mediados del siglo XIX, los físicos no utilizaban una unidad específica para la fuerza.[1] Este hecho vinculó innecesariamente G a la masa de la Tierra, en vez de reconocer a G como una constante universal. Sin embargo, aunque Cavendish no reportó un valor para G, los resultados de su experimento permitieron determinarlo. A finales del siglo XIX los científicos comenzaron a reconocer a G como una constante física fundamental, calculándola a partir de los resultados de Cavendish. Por lo tanto:[21]

G = g\frac{R_{\mathrm Tierra}^2}{M_{\mathrm Tierra}} = \frac{3g}{4\pi R_{\mathrm Tierra}\rho_{\mathrm Tierra}}\,

Después de convertir a unidades del Sistema Internacional el valor obtenido por Cavendish para la densidad de la Tierra (5,45 g/cm3), así como el resto de los datos recabados, se obtuvo el valor G = 6,74*10-11 N*m2/kg2, lo cual se encuentra dentro de un 1% del valor actualmente aceptado.[2]

Referencias[editar]

  1. a b c McCormmach & Jungnickel 1996, p.337
  2. a b Cornu, A. and Baille, J. B. (1873), Mutual determination of the constant of attraction and the mean density of the earth, C. R. Acad. Sci., París Vol. 76, 954-958.
  3. a b Poynting 1894, p.45
  4. Cavendish 1798, p.64
  5. Boys 1894 p.357
  6. Cavendish 1798 p. 60
  7. Un grano de arena de 2 mm pesa ~ 13 mg. Theodoris, Marina (2003). «Mass of a Grain of Sand». The Physics Factbook. Consultado el 12/30/2013. 
  8. Cavendish 1798, p.. 99, Tabla de resultados. Las graduaciones de escala eran = 1/20 & nbsp; en ≈ 1,3 & nbsp; mm. La desviación total que se muestra en la mayoría de los ensayos fue de dos veces este valor desde que se midió la deflexión con las dos grandes bolas situadas en los lados opuestos de la barra de equilibrio.
  9. id = O58mAAAAMAAJ y pg = PA63 Cavendish 1798, p.63
  10. McCormmach y Jungnickel 1996, p.341
  11. Halliday, David & Resnick, Robert (1993). John Wiley & Sons, ed. Fundamentals of Physics. p. 418. ISBN 0-471-14731-1.  «El aparato usado en 1798 por Henry Cavendish para medir la constante gravitacional»
  12. Feynman, Richard P. (1963). Addison-Wesley, ed. Lectures on Physics, Vol.1 (PDF). p. 6–7. ISBN 0-201-02116-1. Consultado el 2015/6/10. Scholar search}} «Cavendish aseguraba que estaba pesando la Tierra, pero en realidad medía el coeficiente G»
  13. Feynman, Richard P. (6/2008). MIT Press, ed. The Character of Physical Law (enlace roto). p. 28. ISBN 0-262-56003-8. Scholar search}} «Cavendish pudo medir la fuerza, las dos masas y la distancia, y por tanto, determinar la constante gravitacional.»
  14. Cavendish Experiment, Harvard Lecture Demonstrations, Harvard Univ. Consultado el 26 de agosto de 2007. . «La [balanza de torsión] fue... modificada por Cavendish para medir G
  15. Shectman, Jonathan (2003). Greenwood, ed. Groundbreaking Experiments, Inventions, and Discoveries of the 18th Century. p. xlvii. ISBN 0-313-32015-2.  «Cavendish calcula la constante gravitacional, la cual le da la masa de la Tierra».
  16. Clotfelter 1987
  17. Hodges 1999
  18. Lally 1999.
  19. Boys 1894, p.330. En este artículo, Boys introduce G y alega su aceptación.
  20. Poynting 1894, p. 4.
  21. MacKenzie 1900, p. vi.

Bibliografía[editar]

  • B. E. Clotfelter. The Cavendish experiment as Cavendish knew it. American Journal of Physics, 55:210 (1987). (Inglés)

Enlaces externos[editar]