Estrella octángula

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Estrella octángula
Compound of two tetrahedra.png
Visto como un compuesto de dos tetraedros regulares (rojo y amarillo)
Tipo Compuesto regular
Símbolos de Coxeter {4,3}[2{3,3}]{3,4}[1]
Símbolos de Schläfli {{3,3}}
a{4,3}
ß{2,4}
ßr{2,2}
Diagramas de Coxeter-Dynkin CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h3.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node h3.pngCDel 2x.pngCDel node h3.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node h3.pngCDel 2x.pngCDel node h3.pngCDel 2x.pngCDel node h3.png
Núcleo de la estelación Octaedro
Envolvente convexa Cubo
Indíce UC4, W19
Poliedros 2 tetraedros
Caras 8 triángulos
Aristas 12
Vértices 8
Dual Autodual
Grupo de simetría
Grupo de Coxeter
Oh, [4,3], orden 48
D4h, [4,2], orden 16
D2h, [2,2], orden 8
D3d, [2+,6], orden 12
Subgrupo restringido
a un constituyente
Td, [3,3], orden 24
D2d, [2+,4], orden 8
D2, [2,2]+, orden 4
C3v, [3], orden 6

La estrella octángula de Kepler, o stella octangula en latín, como el mismo Kepler la denominó, es un poliedro formado por la composición de dos tetraedros regulares. La estrella octángula también puede ser descrita como la única estelación posible del octaedro, o el análogo tridimensional del hexagrama. Este cuerpo geométrico fue representado en la obra "De divina proportione", de Luca Pacioli, escrita en 1509[2]​ y también por Leonardo Da Vinci alrededor de 1500.

La estrella octángula (también conocida como octaedro estrellado) es idéntica en el exterior al octaedro octaumentado. Sin embargo, este último difiere en que no contiene autointersecciones, teniendo en sus lugares aristas extra. Contiene 24 caras, 36 aristas y 14 vértices. Si se definen ambos poliedros solo por el espacio que cubren entonces no hay una diferencia y se pueden tratar como el mismo poliedro.

Características[editar]

Definición[editar]

Representación de una estrella octángula

La estrella octángula se puede definir en base a varias cualidades:

  • Es la composición de dos tetraedros.
    • Esto implica que es el análogo tridimensional del hexagrama. En lugar de componer dos triángulos compone dos tetraedros.
    • Los tetraedros también pueden ser descritos como antiprismas digonales.
  • Es la única estelación del octaedro.
  • Es un facetado del cubo, es decir, es una modificación del cubo en la posición de sus aristas sin modificar los vértices.
  • Es el antiprisma tetragrámico {4/2}.

Las siguientes cualidades corresponden al octaedro octaumentado:


Faceteado de un cubo
Una faceta triangular del cubo. En conjunto con las otras facetas idénticas del mismo cubo se forma una estrella octángula
Las primeras tres iteraciones del cubo de Koch, con la segunda correspondiendo al octaedro octaumentado

Construcción[editar]

Las coordenadas cartesianas del octaedro estrellado son las siguientes: (±1/2, ±1/2, 0) (0, 0, ±1/2) (±1, 0, ±1/2) (0, ±1, ±1/2)

El octaedro estrellado se puede construir de varias maneras:

Stellated octahedron stellation plane.png
En perspectiva
Stellation of octahedron facets.png
Desarrollo
La única estelación de un octaedro regular, con un plano de estelación en amarillo.

Características[editar]

Hay dos posiciones diferentes para incluir un tetraedro en un cubo de manera que ambos compartan los vértices, y la composición de ambos forma la estrella octángula. Las aristas de los tetraedros colocados en ambas posiciones son perpendiculares entre sí, pues estas coinciden con cada una de las diagonales de las caras del cubo. Las tres secciones cuadradas de cada tetraedro coinciden.

El volumen del cubo necesario para incluir un tetraedro en la forma descrita es el triple que el del tetraedro, pero, sin embargo, como los dos tetraedros que forman la estrella octángula tienen un núcleo común (su sólido común es un octaedro de arista mitad que la de los tetraedros) el volumen de la estrella octángula suma menos de los dos tercios que el del cubo que la incluye; concretamente la mitad.

El octaedro octaumentado es topológicamente similar al triaquisoctaedro, uno de los sólidos de Catalan, aunque este es convexo y sus vértices están a diferentes distancias del centro en relación con los de la estrella octángula.

Relación con otras áreas[editar]

Química[editar]

Hoy en día se reconoce este cuerpo geométrico como componente de metalo-enzimas que contienen hierro (Fe4) como la hidrógeno-reductasa (E.C. 1.18.99.1). Mediante cálculos teóricos se explica que la geometría de la "stella octangula" de hierro (Fe4S4) cambia al agregarle electrones a este cúmulo metálico (clúster). La forma encontrada experimentalmente mediante difracción de rayos-X, es la de un tetraedro de hierro (Fe4) coronado por cuatro átomos de azufre (S4) provenientes de cuatro cisteínas de la enzima.

En la cultura popular[editar]

{{{Alt
Uno de los octaedros estrellados de la Plaza de Europa, Zaragoza
Como un poliedro esférico, las aristas comunes en el compuesto de dos tetraedros forman un rombododecaedro

El octaedro estrellado aparece con varios otros poliedros y compuestos poliédricos en el grabado de M. C. Escher "Stars",[3]​ y la forma central aparece en la obra Double Planetoid de (1949) del mismo autor.[4]

El obelisco en el centro de la Plaza de Europa en Zaragoza, España, está rodeado por doce farolas octaédricas estrelladas, en forma de una versión tridimensional de la bandera de Europa.[5]​ Algunos místicos modernos han asociado esta forma con el "merkaba",[6]​ que según ellos es un "campo de energía contrarrotante" llamado así por una antigua palabra egipcia.[7]​ Sin embargo, la palabra "merkaba" es en realidad un término hebreo, y más propiamente se refiere a un carro de guerra en las visiones del profeta Ezequiel.[8]

También se ha señalado con frecuencia el parecido entre esta forma con la estrella de David bidimensional.[9]

Mencionado constante mente en el álbum e incluido en la portada de arte de Hawaii part: II por Joe Hawley

Referencias[editar]

  1. H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, 3.6 The five regular compounds, pp.47-50, 6.2 Stellating the Platonic solids, pp.96-104
  2. Barnes, John (2009), «Shapes and Solids», Gems of Geometry, Springer, pp. 25-56, ISBN 978-3-642-05091-6, doi:10.1007/978-3-642-05092-3_2 .
  3. Hart, George W. (1996), «The Polyhedra of M.C. Escher», Virtual Polyhedra ..
  4. Coxeter, H. S. M. (1985), «A special book review: M. C. Escher: His life and complete graphic work», The Mathematical Intelligencer 7 (1): 59-69, S2CID 189887063, doi:10.1007/BF03023010 .. See in particular p. 61.
  5. «Obelisco» [Obelisk], Zaragoza es Cultura (Ayuntamiento de Zaragoza), consultado el 19 de octubre de 2021 .
  6. Dannelley, Richard (1995), Sedona: Beyond the Vortex: Activating the Planetary Ascension Program with Sacred Geometry, the Vortex, and the Merkaba, Light Technology Publishing, p. 14, ISBN 9781622336708 .
  7. Melchizedek, Drunvalo (2000), The Ancient Secret of the Flower of Life: An Edited Transcript of the Flower of Life Workshop Presented Live to Mother Earth from 1985 to 1994 -, Volume 1, Light Technology Publishing, p. 4, ISBN 9781891824173 .
  8. Patzia, Arthur G.; Petrotta, Anthony J. (2010), Pocket Dictionary of Biblical Studies: Over 300 Terms Clearly & Concisely Defined, The IVP Pocket Reference Series, InterVarsity Press, p. 78, ISBN 9780830867028 .
  9. Brisson, David W. (1978), Hypergraphics: visualizing complex relationships in art, science, and technology, Westview Press for the American Association for the Advancement of Science, p. 220, «The Stella octangula is the 3-d analog of the Star of David » .

Enlaces externos[editar]