Matriz cuadrada

Una matriz de n por m elementos, es una matriz cuadrada si el número de filas es igual al número columnas, es decir, n = m y se dice, entonces que la matriz es de orden n:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots &a_{nn}\\\end{pmatrix}}$

Las matrices cuadradas son las más utilizadas en álgebra.

Propiedades

Toda matriz cuadrada se puede descomponer en la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica. Si A y B son matrices del mismo orden, entonces se pueden sumar entre sí. Los productos de matrices son válidos en ambos sentidos, AB y BA. Además, surgen los conceptos de determinante y traza solo aplicables a matrices cuadradas.

Una matriz cuadrada A de orden n es singular si su determinante es nulo. En tal caso se dice que dicha matriz no tiene inversa.

Ejemplo

Ejemplo de matriz cuadrada para n = 3:

${\begin{pmatrix}1&-3&8\\2&0&0\\0&1&-1\end{pmatrix}}$

Clases de matrices cuadradas

Matriz triángular superior

Una matriz cuadrada es triángular superior si tiene nulos todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal, de la forma:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1m}\\0&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2m}\\0&0&a_{33}&\cdots &a_{3m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &a_{nm}\\\end{pmatrix}}$

Ejemplo:

$A={\begin{pmatrix}3&6&12&-3\\0&-2&4&9\\0&0&1&0\\0&0&0&8\\\end{pmatrix}}$

Perteneciente a : $M_{4}$

Matriz triángular inferior

Una matriz cuadrada es triángular inferior si tiene nulos todos los elementos que están por encima de la diagonal principal, de la forma:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&0&0&\cdots &0\\a_{21}&a_{22}&0&\cdots &0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots &a_{nm}\\\end{pmatrix}}$

Ejemplo:

$A={\begin{pmatrix}3&0&0\\0&-2&0\\6&2&1\\\end{pmatrix}}$

Perteneciente a : $M_{3}$

Matriz diagonal

Una matriz cuadrada es diagonal si tiene nulos todos los elementos excepto los de la diagonal principal, de la forma:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&0&0&\cdots &0\\0&a_{22}&0&\cdots &0\\0&0&a_{33}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &a_{nm}\\\end{pmatrix}}$

Ejemplo:

$A={\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&-2&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&8\\\end{pmatrix}}$

Perteneciente a : $M_{4}$

Por definición, toda matriz diagonal es triangular superior y triangular inferior.

Matriz unidad

Una matriz cuadrada es una matriz unitaria o matriz unidad si todos los elementos en su diagonal principal son la unidad y los demás elementos son 0. Se trata de un caso particular de matriz diagonal, y se representa por I.

$I={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\\end{pmatrix}}$

Ejemplo:

$I={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

Perteneciente a : $M_{4}$

Véase también

• Matriz (matemáticas)

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Square Matrix». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.