NP-hard

En teoría de la complejidad computacional, la clase de complejidad NP-hard es el conjunto de los problemas de decisión que contiene los problemas H tales que todo problema L en NP puede ser transformado polinomialmente en H. Esta clase puede ser descrita como conteniendo los problemas de decisión que son al menos tan difíciles como un problema de NP. Esta afirmación se justifica porque si podemos encontrar un algoritmo A que resuelve uno de los problemas H de NP-hard en tiempo polinómico, entonces es posible construir un algoritmo que trabaje en tiempo polinómico para cualquier problema de NP ejecutando primero la reducción de este problema en H y luego ejecutando el algoritmo A.

Asumiendo que el lenguaje L es NP-completo,

1. L está en NP

2. ∀L' en NP, L' ≤ L

En el conjunto NP-Hard se asume que el lenguaje L satisface la propiedad 2, pero no la la propiedad 1.

La clase NP-completo puede definirse alternativamente como la intersección entre NP y NP-hard.

Ejemplos

El problema de la suma de subconjuntos es un ejemplo de problema NP-hard y se define como sigue: dado un conjunto S de enteros, ¿existe un subconjunto no vacío de S cuyos elementos sumen cero?

Existen problemas NP-hard que no son NP-completos, por ejemplo el problema de parada. Este problema consiste en tomar un programa y sus datos y decidir si va a terminar o si se ejecutará indefinidamente. Se trata de un problema de decisión y es fácil demostrar que es NP-hard pero no NP-completo. Por ejemplo, el problema de satisfacibilidad booleana puede reducirse al problema de parada transformándolo en la descripción de una máquina de Turing que prueba todos los valores de las variables; cuando encuentra una combinación que satisface la fórmula se detiene y en caso contrario reintenta desde el principio, quedándose en un lazo infinito. Para ver que el problema de parada no está en NP es suficiente notar que todos los problemas de NP tienen un algoritmo asociado pero el problema de parada es indecidible.