Ecuación algebraica

Las soluciones de una ecuación algebraica de una variable corresponden a los puntos de una curva, que «tocan o cortan» al eje horizontal.

En la matemática, especialmente en el álgebra, una ecuación algebraica de grado superior es una ecuación de la forma P(x) = 0 donde P(x) es un polinomio no nulo ni constante, con coeficientes enteros, cuyo grado se supone n ≥ 2. ​ ​. Donde x denota un número real o complejo desconocido que la satisface, esto es que reemplazado en P(x) da cero como resultado. Cualquier número que satisface la ecuación se llama raíz; el problema de resolver una ecuación significa hallar todas sus raíces. Cuando el grado del polinomio es n se dice que la ecuación correspondiente es de grado n. ​

Por ejemplo, el polinomio con coeficientos enteros

$P(x)=x^{3}-6x-8$

determina la ecuación $P(x)=0$, es decir, $x^{3}-6x-8=0$. Las resolución de esta ecuación determina las raíces de la ecuación, las cuales se interpretan geométricamente como sigue.

La gráfica de la función polinómica $y=P(x)$ es una curva, donde los ceros del polinomio son las abscicas de los puntos de la curva donde corta al eje Ox o es tangente al mismo ​.

Ecuaciones de una incógnita

Ejemplos

• Ecuación cúbica:

$x^{3}-9x^{2}+36x-80=0$, con una raíz real y dos complejas conjugadas

• Ecuación de quinto grado:

$x^{5}-4x-2=0$ tiene cinco raíces, tres reales y dos complejas; ninguna se puede expresar mediante radicales; caso de ecuación «irresoluble por radicales»

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• Ecuación de séptimo grado:

$x^{7}-8x^{3}+x-2=0$ tiene por lo menos una raíz positiva

• Ecuación de sexto grado:

$x^{6}+2x^{5}-x^{2}+7x-1=0$ detenta una raíz positiva y otra negativa

Contraejemplos

Ecuaciones que no son algebraicas:

$x^{2}-{\sqrt {3}}x-5{\sqrt[{3}]{7}}=0$, los coeficientes no son números enteros; se puede usar la fórmula de la ecuación completa de grado 2.

$x^{3}-{\sqrt {3}}x^{2}-ix+3+5i=0$, los coeficientes no son enteros; sin embargo la teoría considera que tiene tres raíces en ℂ.

$sent-2t=0$, involucra una función trascendente

$xe^{x}-1=0$, conlleva la función $y=e^{x}$, que no es un polinomio.

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Consideraciones genéricas

Según los valores que asuma $n=1,2,3,4,...,etc.$ surgen las ecuaciones de la forma

$a_{0}x+a_{1}=0$ $a_{0}x^{2}+a_{1}x+a_{2}=0$ $a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0$ $a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{\$}=0$

de grado 1, 2, 3, 4, etc. o ecuaciones lineal, cuadrática, cúbica, cuártica, etc. Se asume que el coeficiente principal $a_{0}$ es distinto de cero; aunque ninguna condición se establece para los demás coeficientes. ​

Resolver ecuaciones algebraicas de una sola variable es relativamente sencillo para los grados 1 y 2.

Factorización

Si k es una raíz de la ecuación

$P(x)=0$

se deduce del teorema del resto que P(x)es divisible por (x-k) y se cumple

$P(x)=(x-k)P_{1}(x)$

donde $P_{1}(x)$ es un polinomio de grado n-1.

Si $k_{1}$ es otra raíz distinta de k se obtiene

$P(x)=(x-k)(x-k_{1})P_{2}(x)$

donde $P_{2}(x)$ es un polinomio de grado n-2. Y así sucesivamente.

Segundo grado

Una ecuación de segundo grado

$ax^{2}+bx+c=0$

no siempre admite solución sobre $\scriptstyle \mathbb {K}$, aunque sí la admite sobre su clausura algebraica (si se trata de un cuerpo de característica nula). Existen a lo sumo dos soluciones, dadas por:

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\qquad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Puede ser que alguna de las soluciones anteriores, definibles sobre la clausura algebraica no son números del cuerpo $\scriptstyle \mathbb {K}$. Por ejemplo la ecuación:

$x^{2}-2=0$

No admite solución sobre $\scriptstyle \mathbb {Q}$ pero sí la admite sobre su clausural algebraica y también sobre $\scriptstyle \mathbb {R}$ (ya que contiene a la clausura algebraica de $\scriptstyle \mathbb {Q}$).

Ecuaciones de mayor grado

• Ecuación de tercer grado
• Ecuación de cuarto grado
• Ecuación de quinto grado

Para ecuaciones de tercer y cuato grado también pueden construirse las soluciones de la ecuación sobre la clausura algebraica de $\scriptstyle \mathbb {K}$ mediante el método de los radicales. Esto fue anticipado por Gerolamo Cardano, Tartaglia y Lodovico Ferrari, entre otros, en el siglo XVI. Sin embargo, para grado 5 o mayor, no tiene por qué existir una solución construible mediante el método de radicales, hecho probado por Évariste Galois a principios del siglo XIX.​

Conversión de coeficientes

Una ecuación algebraica en el cuerpo de los racionales siempre puede convertirse en una ecuación con coeficientes enteros. Por ejemplo, tomemos la ecuación de tercer grado:

$-7x^{3}+{\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\end{matrix}}x^{2}-5x+3=0$

multiplicando por tres toda la ecuación tenemos:

$-21x^{3}+2x^{2}-15x+9=0.\,\!$

La forma estándar de este tipo de ecuación, sin embargo, tiene un coeficiente unitario al principio:

$x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0$

Si todos los otros coeficientes son enteros, entonces las raíces de la ecuación son enteros algebraicos.

Ecuaciones binomias

La ecuación $x^{n}-k^{n}=0$ tiene una raíz igual a k, para cualquier natural mayor que 1 y c, entero.

La ecuación $x^{n}-k^{n}=0$, detenta una raíz igual a -c para n natural par.

La ecuación $x^{n}+k^{n}=0$ posee una raíz igual a -c para cualquier n, natural impar.

​

Ecuaciones vinculadas

• Si todas las soluciones de F=0 son soluciones de la ecuación G=0 se dice que esta es consecuencia de la anterior.

Por ejemplo, la ecuación

$(x-1^{2}(1-x^{2})=0$

es consecuencia de la ecuación

$2(x-1)^{3}-x(x-1)^{2}=0$

.

En otros términos, si el conjunto solución de la ecuación F = 0 es parte del conjunto solución de la ecuación G = 0, esta es consecuencia de la ecuación F = 0.

• Si todas las soluciones de F=0 son soluciones de la ecuación G=0 y recíprocamente se dicen que las dos ecuaciones son equivalentes.

Como ejemplo, la ecuación

$x^{3}(x-1)^{2}-(x-1)^{2}=0$

y la ecuación

$(x-1)^{3}(x^{2}+x+1)=0$

son equivalentes; sus conjuntos solución son iguales.

• Se indican ciertas ecuaciones equivalentes y ecuación consecuencia de otra

1. La ecuación F+G=G es equivalente a la ecuación F = 0.
2. F/G = 0 es equivalente a la ecuación F = 0
3. FG = 0 es equivalente a las dos ecuaciones F= 0 y G = 0.
4. La ecuación Fⁿ = 0 es consecuencia de la ecuación F=0, donde n es entero positivo mayor que 2.
5. La ecuación Fⁿ = Gⁿ es equivalente a la ecuación F = G si n es impar; y equivalente a las ecuaciones F=G y F= -G si n es par. ​

Proposiciones

• De acuerdo al Teorema fundamental del álgebra toda ecuación algebraica definida por un polinomio de grado n, tiene al menos una raíz en el conjunto ℂ de los números complejos.​
• Como aplicación del TFA, toda ecuación algebraica de grado n se puede descomponer en n binomios lineales $x-\alpha _{i},1\leq i\leq n$, siendo $\alpha _{i}\$ una raíz, que pudiera ser múltiple en algún caso. ​
• Si una ecuación de grado n, con coeficientees reales, tiene como raíz el número complejo $z=a+bi$ entonces el conjugado de z^* es también raíz de tal ecuación; siendo $z^{*}=a-bi$. ​
• Una ecuación algebraica, usando solo el campo de los números reales, se puede factorizar en factores lineales $x-\alpha _{i}$ y factores cuadráticos de la forma $mx^{2}+nx+p$ que resulta del producto de cada par de raíces complejas.​

• Cuando una ecuación algebraica de coeficientes racionales tiene una raíz real de la forma $p+{\sqrt {q}}$, entonces tiene también el número real $p+{\sqrt {q}}$. ​

Véase también

• Número algebraico
• Geometría algebraica
• Estructura algebraica
• Teoría de Galois
• Ecuación diofántica
• Curva algebraica