Grupo resoluble

Definición

Un grupo finito G se dice resoluble (o soluble) si existe una cadena finita de subgrupos $\{G_{i}\}_{i=1}^{n}\subset G$ tal que:

$\{1_{G}\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \dots \subseteq G_{n}=G,$

donde para cada $i=0,1,\dots ,n-1$ se cumple que:

• $G_{i}$ es subgrupo normal en $G_{i+1}$, notado usualmente como $G_{i}\triangleleft G_{i+1}$.

• El grupo cociente $G_{i+1}/G_{i}$ es abeliano.

A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar torre , según Serge Lang.

Otra forma de definir la solubilidad de un grupo es a partir de los subgrupos conmutadores. Definimos $G^{(0)}=G$ y $G^{(i+1)}=[G_{i},G_{i}]$. Tendremos entonces una sucesión decreciente de subgrupos, a la que llamamos serie derivada:

$G=G^{(0)}\supseteq G^{(1)}\supseteq G^{(2)}\dots ,$ donde $G^{(i+1)}\vartriangleleft G^{(i)}$ para todo i.

El grupo es soluble si existe $n\in \mathbb {N}$ tal que $G^{(n)}=\{1_{G}\}$.

Las dos definiciones son equivalentes porque dados un grupo $J$ y un subgrupo normal $N\vartriangleleft J$, se tiene que $J/N$ es abeliano si y solo si $[J,J]\subseteq N$.

Ejemplos

• Todo grupo abeliano es resoluble, ya que $\{1\}\subseteq G$ y $1\triangleleft G$, dado que $x\cdot 1_{G}\cdot x^{-1}\in \{1_{G}\}$ y además $G/\{1\}\simeq G$, por lo que es abeliano.

• $S_{3}$ es resoluble. Basta ver que $1\triangleleft A_{3}\triangleleft S_{3}$ es una torre abeliana, con $A_{n}$ el grupo alternado para $S_{n}$.

• $A_{4}$ es resoluble. Basta ver que $1\triangleleft V\triangleleft A_{4}$, es una torre abeliana de $A_{4}$, donde $V=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$.

• $S_{4}$ es resoluble. Se puede ver que $1\triangleleft V\triangleleft A_{4}\triangleleft S_{4}$ es una torre abeliana de $S_{4}$.

• $A_{5}$ es un grupo no resoluble, ya que se conoce que $A_{5}$ es simple, por lo que la única cadena posible es $1\triangleleft A_{5}$, pero $A_{5}$ no es abeliano, dado que $(12)(34)(345)\neq (345)(12)(34)$.

Propiedades

• Si $G$ es un grupo soluble y $f:G\to H$ es un homomorfismo de grupos entonces $f(G)$ es soluble. Esto es equivalente, gracias al primer teorema de isomorfismos, a que si $N\vartriangleleft G$ y $G$ es soluble entonces $G/N$ es soluble.

• Si $G$ es soluble y $H\leq G$ entonces $H$ es soluble.

• Si $N\vartriangleleft G$ verifican que tanto $N$ como $G/N$ son solubles entonces $G$ es soluble.

• De las propiedades anteriores podemos deducir que el producto directo $G\times H$ es soluble si y solo si $G$ y $H$ lo son.

Importancia

Está ligado a la teoría de Galois y a la resolución de ecuaciones algebraicas. Un teorema importante en ese sentido es:

Un polinomio g sobre K (con característica 0) es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois sobre K es soluble.​