Forma normal prenexa

Una formula de la lógica de predicados tiene forma prenexa​ si está escrita como una cadena de cuantificadores seguidos por una parte sin cuantifcar (designada como matriz).

Toda fórmula es equivalente en lógica clásica a una fórmula en forma prenexa. Por ejemplo, si $\phi (y)$, $\psi (z)$, y $\rho (x)$ son fórmulas sin cuantificar con las variables libres mostradas, luego

$\forall x\exists y\exists z(\phi (y)\lor (\psi (z)\rightarrow \rho (x)))$

Es en forma normal prenexa con la mtriz $\phi (y)\lor (\psi (z)\rightarrow \rho (x))$, mientras que

$\forall x((\exists y\phi (y))\lor ((\exists z\psi (z))\rightarrow \rho (x)))$

Es lógicamente equivalente pero no en forma prenexa.

Conversión a forma prenexa

Toda fórmula de primer orden es lógica equivalente (en lógica clasíca) a alguna fórmula en forma prenexa. Hay algunas reglas de conversión que pueden ser aplicadas recursivamente para convertir una fórmula a forma prenexa. Las reglas dependen de qué conectiva lógica (o conectivas) aparezcan en la fórmula.

Conjunción y disyunción

Las reglas para la conjunción y la disyunción dicen que

$(\forall x\phi )\land \psi$ es equivalente a $\forall x(\phi \land \psi )$,

$(\forall x\phi )\lor \psi$ es equivalente a $\forall x(\phi \lor \psi )$;

Y

$(\exists x\phi )\land \psi$ es equivalente a $\exists x(\phi \land \psi )$,

$(\exists x\phi )\lor \psi$ es equivalente a $\exists x(\phi \lor \psi )$.

Las equivalencias son válidas cuando x no aparece como variable libre de ψ; si x sí aparece libre en ψ, debe ser reemplazada por otra variable libre.

Por ejemplo, en el lenguaje de los anillos,

$(\exists x(x^{2}=1))\land (0=y)$ es equivalente a $\exists x(x^{2}=1\land 0=y)$,

pero

$(\exists x(x^{2}=1))\land (0=x)$ no es equivalente a $\exists x(x^{2}=1\land 0=x)$

porque la fórmula en la izquierda es verdadera en cualquier anillo cuando la variable libre x es igual a 0, mientras que la fórmula de la derecha no tiene variables libres, y es falsa en cualquier anillo no-trivial.

Negación

Las reglas para la negación dicen que

$\lnot \exists x\phi$ es equivalente a $\forall x\lnot \phi$

y

$\lnot \forall x\phi$ es equivalente a $\exists x\lnot \phi$.

Implicación

Hay cuatro reglas para la implicación: dos que remueven los cuantificadores del antecedente y dos que remueven los cuantificadores del consecuente. Estas reglas pueden ser derivadas reescribiendo la implicación $\phi \rightarrow \psi$ como $\lnot \phi \lor \psi$ y aplicando las reglas para la disyunción de arriba. Tal como las reglas de la disyunción, estas reglas requieren que la variable cuantificada en una subfórmula no aparezca libre en otra subfórmula.

Las reglas para remover cuantificadores del antecedente son:

$(\forall x\phi )\rightarrow \psi$ es equivalente a $\exists x(\phi \rightarrow \psi )$,

$(\exists x\phi )\rightarrow \psi$ es equivalente a $\forall x(\phi \rightarrow \psi )$.

Las reglas para remover cuantificadores del consecuente son:

$\phi \rightarrow (\exists x\psi )$ es equivalente a $\exists x(\phi \rightarrow \psi )$,

$\phi \rightarrow (\forall x\psi )$ es equivalente a $\forall x(\phi \rightarrow \psi )$.

Ejemplo

Supóngase que $\phi$, $\psi$, y $\rho$ son fórmulas sin cuantificar y no comparten variable libre alguna. Considerese la fórmula

$(\phi \lor \exists x\psi )\rightarrow \forall z\rho$.

Aplicando recursivamente las reglas empezando por las subfórmulas internas, la siguiente secuencia de fórmulas lógicamente equivalentes pueden obtenerse:

$(\exists x(\phi \lor \psi ))\rightarrow \forall z\rho$,

$\forall x((\phi \lor \psi )\rightarrow \forall z\rho )$,

$\forall x(\forall z((\phi \lor \psi )\rightarrow \rho )))$,

$\forall x\forall z((\phi \lor \psi )\rightarrow \rho )$.

Esta no es la única forma prenexa equivalente a la fórmula original. Por ejemplo, abordando el consecuente antes que el anecedente en el ejemplo, la forma prenexa

$\forall z\forall x((\phi \lor \psi )\rightarrow \rho )$

Puede ser obtenida:

$\forall z((\phi \lor \exists x\psi )\rightarrow \rho )$

$\forall z((\exists x(\phi \lor \psi ))\rightarrow \rho )$,

$\forall z(\forall x((\phi \lor \psi )\rightarrow \rho ))$,

$\forall z\forall x((\phi \lor \psi )\rightarrow \rho )$.

Lógica intuicionista

Las reglas para convertir una fórmula a una en forma prenexa hace engorroso el manejo de la lógica clásica. En lógica intuicionista no sucede que toda fórmula es lógicamente equivalente a una fórmula prenexa. La negación de una conectiva es un obstáculo, pero no es el único. La implicción también recibe un tratamiento en lógica intuicionista que en la lógica clásica; en lógica intuicionista, no es definible usando la negación y la disyunción.

Uso de la forma prenexa

Algunos cálculos de derivación sólo pueden tratar con una teoría cuyas fórmulas estén escritas en forma normal prenexa. El concepto es esencial para desarrollar la jerarquía aritmética y la jerarquía analítica. La prueba de Gödel de su teorema de completitud para la lógica de primer orden presupone que todas las fórmulas han sido reescritas en formal normal prenexa.

Véase también

• Herbrandization
• Skolemization
• Arithmetical hierarchy

Referencias

• Hinman, P. (2005), Fundamentals of Mathematical Logic, A K Peters, ISBN 978-1-56881-262-5 .