Teoremas de Mertens

En matemáticas, los teoremas de Mertens (por Franz Martens, que los demostró) son tres resultados de teoría de números enunciados en 1874 y que tratan sobre la densidad de los números primos, y otro resultado de análisis.

Teoría de números

Primer teorema de Mertens

$\ln n-\sum _{p\leq n}{\frac {\ln p}{p}}=O(1)\quad {\hbox{cuando}}\ n\to \infty ,$

Véase también: Notación de Landau

Segundo teorema de Mertens

$\lim _{n\to \infty }\left(-\ln \ln n+\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}\right)=0,2614972128\ldots ,$

Ese número es la constante de Meissel-Mertens.

Tercer teorema de Mertens

$\lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },$ donde γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Teorema de Mertens en análisis

Si una serie infinita real o compleja $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge a $A$ y otra $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ converge absolutamente a $B$, entonces su producto de Cauchy converge a $AB$.