Espacio compacto

En topología, un espacio compacto es un espacio que contiene todos sus posibles puntos límites.

Definición

Definición general

Un espacio topológico $X$ se dice compacto si satisface las siguientes condiciones equivalentes:

1. Todo cubrimiento abierto de $X$ admite un subcubrimiento finito.
2. Si $\{F_{i}\}_{i\in I}$ es una familia de cerrados en $X$ tal que $\cap _{finitos}F_{i}\neq \emptyset$, entonces $\cap _{todos}F_{i}\neq \emptyset$.
3. Toda red en $X$ admite una subred convergente.
4. La función al punto $X\to \ast$ es propia.

Compacidad en espacios métricos

Un subconjunto A de un espacio métrico y, en particular, del espacio euclídeo $mathbb{R}^{n}$, es compacto si cumple alguna de las cuatro condiciones de la definición general. No obstante, la tercera de ellas admite la siguiente reescritura en este contexto: toda sucesión en $A$ admite una subsucesión convergente.

Ejemplos

• El ejemplo paradigmático de espacio compacto es un intervalo cerrado de la recta.
• Más generalmente, también lo es cualquier conjunto cerrado y acotado del espacio euclídeo.
• Un ejemplo de espacio no compacto es la recta real, pues no es acotada y contiene sucesiones que tienden a infinito.
• Tampoco es compacto el conjunto de los números racionales, pues uno puede acercarse arbitrariamente a puntos que faltan.

Teoremas asociados a la compacidad

Teorema de Heine-Borel

Por el teorema de Heine-Borel, un espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado. Para subconjuntos del espacio euclídeo, basta con que éste sea cerrado y acotado, que es una caracterización útil.

Sin embargo, en dimensión infinita, esto no es verdad, y, de hecho, en este contexto la bola unitaria cerrada jamás será compacta; por lo mismo, es mucho más difícil verificar compacidad.

Véase también

• Localmente compacto.
• Soporte compacto.