Matriz normal

Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si

$A^{*}A=AA^{*}$

donde A^* es el conjugado transpuesto de A (también llamado hermitiano)

Ejemplos

Esta matriz de orden 2 es normal.

${\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}$

debido a que ..

${\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}^{*}={\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}i&i\\i&-i\end{pmatrix}}$

$={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&i\\i&-i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}^{*}{\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}$

Propiedades

Una importante propiedad de este tipo de matrices es que son diagonalizables.

Demostración:

Sea A matriz compleja cuadrada normal. Entonces puede expresarse, utilizando la descomposición de Schur, de esta manera:

$A=QUQ^{*}$

Demostraremos que la matriz U es diagonal, por ahora solo sabemos que es triangular superior.

Usando el hecho que A es normal:

$A^{*}A=(QUQ^{*})^{*}(QUQ^{*})=QU^{*}(Q^{*}Q)_{(1)}UQ^{*}=QU^{*}UQ^{*}$

Idénticamente.

$(QUQ^{*})(QUQ^{*})^{*}=QUU^{*}Q^{*}$

Postmultiplicando por $Q$ y luego premultiplicando por $Q^{*}$ obtenemos: $U^{*}U=UU^{*}$