Matriz normal

Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si

$A^{*}A=AA^{*}$

donde A^* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)

Ejemplos

Esta matriz de orden 2 es normal.

${\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}$

debido a que ..

${\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}^{*}={\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}i&i\\i&-i\end{pmatrix}}$

$={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&i\\i&-i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}^{*}{\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}$

Propiedades

Una importante propiedad de este tipo de matrices es que son diagonalizables.

Demostración:

Sea A matriz compleja cuadrada normal. Entonces puede expresarse, utilizando la descomposición de Schur, de esta manera:

$A=QUQ^{*}$

Demostraremos que la matriz U es diagonal, por ahora solo sabemos que es triangular superior. Formalmente, definimos estas condiciones con números, ya que serán usadas en la demostración:

• $a_{k1}=0$ $\forall k=2,..,n$ (1)
• $a_{k2}=0$ $\forall k=3,..,n$ (2)
• ...
• $a_{kn-1}=0$ $con\,\,k=n$ (n-1)

Usando el hecho que A es normal:

$A^{*}A=(QUQ^{*})^{*}(QUQ^{*})=QU^{*}(Q^{*}Q)_{(a)}UQ^{*}=QU^{*}UQ^{*}$

Idénticamente.

$(QUQ^{*})(QUQ^{*})^{*}=QUU^{*}Q^{*}$

Postmultiplicando por $Q$ y luego premultiplicando por $Q^{*}$ obtenemos: $U^{*}U=UU^{*}$

Lo cual da lugar a estas dos multiplicaciones matriciales:

${\begin{matrix}&&{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{bmatrix}}\\U^{*}U={\begin{bmatrix}{\overline {a_{11}}}&0&\cdots &0\\{\overline {a_{12}}}&{\overline {a_{22}}}&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\{\overline {a_{1n}}}&\cdots &{\overline {a_{n-1n}}}&{\overline {a_{nn}}}\end{bmatrix}}&&\end{matrix}}$

${\begin{matrix}&&{\begin{bmatrix}{\overline {a_{11}}}&0&\cdots &0\\{\overline {a_{12}}}&{\overline {a_{22}}}&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\{\overline {a_{1n}}}&\cdots &{\overline {a_{n-1n}}}&{\overline {a_{nn}}}\end{bmatrix}}\\UU^{*}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{bmatrix}}&&\end{matrix}}$

Para nuestros propósitos, nos interesan los elementos de las diagonales.

$(U^{*}U)_{ii}=\sum _{j=1}^{n}{a_{ij}*{\overline {a_{ji}}}}=\sum _{j=1}^{n}{||a_{ij}||^{2}}$

$(UU^{*})_{ii}=\sum _{j=1}^{n}{{\overline {a_{ij}}}*a_{ji}}=\sum _{j=1}^{n}{||a_{ji}||^{2}}$

Ahora utilizamos un procedimiento inductivo para probar que esta matriz producto es diagonal (sus elementos son ceros fuera de la diagonal principal)

• Caso i=1: $(U^{*}U)_{11}=(UU^{*})_{11}$

$\sum _{j=1}^{n}{||a_{1j}||^{2}}=\sum _{j=1}^{n}{||a_{j1}||^{2}}$

Separamos el elemento diagonal de las sumatorias.

$||a_{11}||^{2}+\sum _{j=2}^{n}{||a_{1j}||^{2}}=||a_{11}||^{2}+\sum _{j=2}^{n}{||a_{j1}||^{2}}$

Usando (1)

$\sum _{j=2}^{n}{||a_{1j}||^{2}}=0$

Por lo tanto, $a_{1j}=0$ $\forall j=2,..,n$