Diferencia entre revisiones de «Gas de Fermi»

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Un gas de Fermi compuesto por partículas idénticas sigue la [[estadística de Fermi-Dirac]], de la cual se deduce que:
 
:(1) <math>\overline{n_k} = \frac{1}{e^{(\epsilon_k - \mu)/kT} + 1}</math>
 
que representan los valores medios de los [[números de ocupación]] para un gas de Fermi. Para un gas de Fermi todos losnúmeros de ocupación son <math>\overline{n_k} \le 1</math>. La normalización impone:
El [[Operador hamiltoniano|hamiltoniano]] de un gas de Fermi constituido por N fermiones de masa m encerrados en el interior de una caja cúbica de lado L es:
 
:(2) <math>H_0 = \sum_{i=1}^{N} \frac{p_i^2}{2m} </math>
 
donde la energía de cada partícula individual es:
 
:(3) <math>\epsilon = \frac{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}{2m} </math>
 
expresada en términos de autovalores (es decir los valores de energía accesibles al sistema): <math>\epsilon_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}</math>. Teniendo en cuenta la [[degeneración de espín]] <math>g = 2s + 1</math> donde ''s'' es el espín del fermión, el número de partículas en el elemento de volumen del [[espacio de fases]] es:
 
:(4) <math>g d\tau = g\frac{dp_x dp_y dp_z dV}{(2 \pi \hbar)^3}</math>
 
y por tanto se tiene para la distribución de Fermi:
 
:(5) <math>dN = \frac{g d\tau}{e^{(\epsilon - \mu)/kT} + 1}</math>
 
Más precisamente integrando la ecuación anterior (5) en <math>dV</math> obtenemos la distribución del impulso:
 
:(6) <math>dN_p = \frac{g V p^2 dp}{2 \pi^2 \hbar^3 \left[e^{(\epsilon - \mu)/kT} + 1 \right]}</math>
 
y como <math>\epsilon = p^2 / 2 m</math>, deducimos fácilmente la distribución de energía:
 
:(7) <math>dN_{\epsilon} = \frac{g V m^{3/2}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3} \frac{\sqrt{\epsilon} \, d\epsilon}{e^{(\epsilon - \mu)/kT} + 1}</math>
 
Las expresiones (6) y (7) son las [[Distribución de Maxwell-Boltzmann|distribuciones de Maxwell]] en el caso de un gas de Fermi. El número total de partículas se obtiene integrando la expresión (7):
 
:(8) <math>N = \frac{g V m^{3/2}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3} \int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{\epsilon} \, d\epsilon}{e^{(\epsilon - \mu)/kT} + 1}</math>
 
mientras a partir de la (6) se obtiene la energía:
 
:(9) <math>\int_{0}^{\infty} \epsilon \, dN_{\epsilon} = \frac{g V m^{3/2}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3} \int_{0}^{\infty} \frac{\epsilon^{3/2} \, d\epsilon}{e^{(\epsilon - \mu)/kT} + 1}</math>
 
Podemos obtener el ''potencial termodinámico'' a partir de la (7):
 
:(10) <math>\Omega = - \frac{V g T \sqrt{(m)^3}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3} \int_{0}^{\infty} \frac{\epsilon^{3/2} \, d\epsilon}{e^{(\epsilon -\mu) /kT} + 1}</math>
 
que coincide con la energía excepto en un factor:
 
:(11) <math>\Omega = - PV = \frac{2}{3} E</math>
 
que es una relación del todo general que vale para todos los sistemas o distribuciones, sean de Bose, de Fermi o de Boltzmann.
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== Gas di Fermi completamente degenerado ==
 
== Gas dide Fermi completamente degenerado ==
Supponiamo di avere un gas di fermioni di spin <math>s = 1/2</math> (quindi <math>g = 2s+1 = 2</math>), ad esempio elettroni, a temperatura assoluta <math>T = 0 \, K</math>; gli elettroni a tale temperatura cercano di porsi negli stati a energia minore in modo che il totale dell'energia sia il valore più basso possibile, partendo dallo stato a energia nulla, fino ad un certo valore.
 
Supongamos que tenemos un gas de fermiones de espín <math>s = 1/2</math> (por tanto <math>g = 2s+1 = 2</math>), por ejemplo, electrones, a una temperatura absoluta <math>T = 0 \, K</math>; los electrones a tal temperatura tratan de ponerse en los estados de menor energía de modo que la energía total alcance el valor más bajo posible, partiendo del estado de energía nula, hasta un cierto valor.
Il numero di stati quantistici di un elettrone in un volume V con impulso compreso in <math>(p,p+dp)</math> è dato dalla (6):
 
El número de estados cuánticos de un electrón en un volumen V, con impulso comprendido en el intervalo <math>(p,p+dp)</math>, viene dado por la expresión (6):
:(12)<math>2 \frac{4 \pi V p^2 \, dp}{(2 \pi \hbar)^3} = V \frac{p^2 \, dp}{\pi^2 \hbar^3}</math>
 
:(12) <math>2 \frac{4 \pi V p^2 \, dp}{(2 \pi \hbar)^3} = V \frac{p^2 \, dp}{\pi^2 \hbar^3}</math>
Gli elettroni occupano tutti gli stati con impulso uguale a zero (notare che <math>\epsilon = p^2 / 2m</math>) fino al valore <math>p=p_F</math> detto [[Energia di Fermi|impulso di Fermi]], che equivale nello spazio degli impulsi, al raggio di una sfera detta [[Energia di Fermi|sfera di Fermi]]. Il numero totale di elettroni in questi stati è dato da:
 
GliLos elettronielectrones occupanoocupan tuttitodos glilos statiestados con impulso ugualeigual a zerocero (notarenótese cheque <math>\epsilon = p^2 / 2m</math>) finohasta alel valorevalor <math>p=p_F</math> dettollamado [[EnergiaEnergía dide Fermi|impulso dide Fermi]], cheque equivale nelloen el spazioespacio deglide impulsiimpulsos, al raggiorayo dide una sferaesfera dettallamada [[EnergiaEnergía dide Fermi|sferaesfera dide Fermi]]. IlEl numeronúmero totaletotal dide elettronielectrones inen questiestos statiestados èviene datodado dapor:
:(13)<math>N = \frac{V}{\pi^2 \hbar^3} \int_{0}^{p_F} p^2 \, dp = \frac{V p_{F}^{3}}{3 \pi^2 \hbar^3}</math>
 
da cui possiamo ricavare l'impulso di Fermi:
 
:(1413) <math>p_FN = (3 \frac{V}{\pi^2) \hbar^{1/3} \hbarint_{0}^{p_F} p^2 \left(, dp = \frac{NV p_{F}^{V3}}{3 \right)pi^2 \hbar^{1/3}</math>
 
y de aquí podemos obtener el impulso de Fermi:
e l'[[energia di Fermi]]:
 
:(1514) <math>\epsilon_F = \frac{p_F^2}{2 m} = (3 \pi^2)^{21/3} \frac{\hbar^2}{2 m} \left(\frac{N}{V} \right)^{21/3}</math>
 
ey la l'[[energiaenergía dide Fermi]]:
Questo si può vedere anche dai numeri di occupazione medi (1). Infatti al limite <math>T \to 0</math>:
 
:(15) <math>\epsilon_F = \frac{p_F^2}{2 m} = (3 \pi^2)^{2/3} \frac{\hbar^2}{2 m} \left(\frac{N}{V} \right)^{2/3}</math>
 
Esto se puede ver también en los números de ocupación medios (1). De hecho en el límite <math>T \to 0</math>:
 
:<math>\lim_{T \to 0} \overline{n_{\mathbf p}} = \lim_{T \to 0} \frac{1}{e^{(\epsilon - \mu)/kT} + 1} = \left \{ \begin{matrix}
1 & \epsilon < \mu \\ 0 & \epsilon > \mu \end{matrix} \right.</math>
 
cioèes idecir numerilos dinúmeros occupazionede mediocupación diventanomedios se convierten en una funzionefunción a gradinointervalos haciéndonos pensar facendocien pensareel alhecho fattode cheque perpara <math>p<p_F</math> oppureo <math>\epsilon < \epsilon_F</math> glilos elettronielectrones sise dispongonodisponen a partirepartir daldel nivel livello <math>\epsilon =0</math> finohasta ailos livelliniveles <math>p=p_F</math> oppureo <math>\epsilon = \epsilon_F</math> con la condizionecondición cheque inen un livellonivel cihaya siacomo al massimomáximo una particellapartícula secondosegún ilel [[principio dide esclusioneexclusión dide Pauli]], dopodespués questide valoriestos valores, <math>p > p_F</math> nonno vihay sonomás piùelectrones elettronique da sistemareordenar. DaTéngase en notarecuenta cheque:
 
:(16)<math>\epsilon_F = \mu</math>
 
:(16) <math>\epsilon_F = \mu</math>
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L'energia totale del gas di Fermi completamente degenere si ottiene dall'integrazione:
 

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