Diferencia entre revisiones de «Gas de Fermi»

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Revisión del 15:12 2 feb 2010

Un gas de Fermi es un sistema de fermiones libres, es decir, que no interactúan entre sí: pueden ser descritos en una primera aproximación con este modelo los nucleones ene el interior del núcleo atómico o los electrones de conducción de un metal.

Aspectos generales

Artículo principal: Estadística de Fermi-Dirac

Un gas de Fermi compuesto por partículas idénticas sigue la estadística de Fermi-Dirac, de la cual se deduce que:

(1)

{\overline {n_{k}}}={\frac {1}{e^{(\epsilon _{k}-\mu )/kT}+1}}

que representan los valores medios de los números de ocupación para un gas de Fermi. Para un gas de Fermi todos losnúmeros de ocupación son ${\overline {n_{k}}}\leq 1$ . La normalización impone:

N=\sum _{k}{\frac {1}{e^{(\epsilon _{k}-\mu )/kT}+1}}

donde N es el número total de partículas del gas. A partir de aquí podemos determinar el potencial termodinámico.

El hamiltoniano de un gas de Fermi constituido por N fermiones de masa m encerrados en el interior de una caja cúbica de lado L es:

(2)

H_{0}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}

donde la energía de cada partícula individual es:

(3)

\epsilon ={\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2m}}

expresada en términos de autovalores (es decir los valores de energía accesibles al sistema): $\epsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$ . Teniendo en cuenta la degeneración de espín $g=2s+1$ donde s es el espín del fermión, el número de partículas en el elemento de volumen del espacio de fases es:

(4)

gd\tau =g{\frac {dp_{x}dp_{y}dp_{z}dV}{(2\pi \hbar )^{3}}}

y por tanto se tiene para la distribución de Fermi:

(5)

dN={\frac {gd\tau }{e^{(\epsilon -\mu )/kT}+1}}

Más precisamente integrando la ecuación anterior (5) en $dV$ obtenemos la distribución del impulso:

(6)

dN_{p}={\frac {gVp^{2}dp}{2\pi ^{2}\hbar ^{3}\left[e^{(\epsilon -\mu )/kT}+1\right]}}

y como $\epsilon =p^{2}/2m$ , deducimos fácilmente la distribución de energía:

(7)

dN_{\epsilon }={\frac {gVm^{3/2}}{{\sqrt {2}}\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\frac {{\sqrt {\epsilon }}\,d\epsilon }{e^{(\epsilon -\mu )/kT}+1}}

Las expresiones (6) y (7) son las distribuciones de Maxwell en el caso de un gas de Fermi. El número total de partículas se obtiene integrando la expresión (7):

(8)

N={\frac {gVm^{3/2}}{{\sqrt {2}}\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sqrt {\epsilon }}\,d\epsilon }{e^{(\epsilon -\mu )/kT}+1}}

mientras a partir de la (6) se obtiene la energía:

(9)

\int _{0}^{\infty }\epsilon \,dN_{\epsilon }={\frac {gVm^{3/2}}{{\sqrt {2}}\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\epsilon ^{3/2}\,d\epsilon }{e^{(\epsilon -\mu )/kT}+1}}

Podemos obtener el potencial termodinámico a partir de la (7):

(10)

\Omega =-{\frac {VgT{\sqrt {(m)^{3}}}}{{\sqrt {2}}\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\epsilon ^{3/2}\,d\epsilon }{e^{(\epsilon -\mu )/kT}+1}}

que coincide con la energía excepto en un factor:

(11)

\Omega =-PV={\frac {2}{3}}E

que es una relación del todo general que vale para todos los sistemas o distribuciones, sean de Bose, de Fermi o de Boltzmann.

Véase también

Referencias

@@ Línea 21: / Línea 21: @@
 :(3)<math>\epsilon = \frac{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}{2m} </math>
-expresada en términos de autovalores (ovvero los valores de energía accesibles al sistema): <math>\epsilon_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}</math>. Teniendo en cuenta la [[degeneración de espín]] <math>g = 2s + 1</math> donde ''s'' es el espín del fermión, el número de partículas en el elemento de volumen del [[espacio de fases]] es:
+expresada en términos de autovalores (es decir los valores de energía accesibles al sistema): <math>\epsilon_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}</math>. Teniendo en cuenta la [[degeneración de espín]] <math>g = 2s + 1</math> donde ''s'' es el espín del fermión, el número de partículas en el elemento de volumen del [[espacio de fases]] es:
 :(4)<math>g d\tau = g\frac{dp_x dp_y dp_z dV}{(2 \pi \hbar)^3}</math>
@@ Línea 28: / Línea 28: @@
 :(5)<math>dN = \frac{g d\tau}{e^{(\epsilon - \mu)/kT} + 1}</math>
-<!--
-Più precisamente integrando la (5) in <math>dV</math> otteniamo la distribuzione dell'impulso:
+Más precisamente integrando la ecuación anterior (5) en <math>dV</math> obtenemos la distribución del impulso:
 :(6)<math>dN_p = \frac{g V p^2 dp}{2 \pi^2 \hbar^3 \left[e^{(\epsilon - \mu)/kT} + 1 \right]}</math>
-e siccome <math>\epsilon = p^2 / 2 m</math>, deduciamo subito la distribuzione di energia:
+y como <math>\epsilon = p^2 / 2 m</math>, deducimos fácilmente la distribución de energía:
 :(7)<math>dN_{\epsilon} = \frac{g V m^{3/2}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3} \frac{\sqrt{\epsilon} \, d\epsilon}{e^{(\epsilon - \mu)/kT} + 1}</math>
-Le (6) e (7) sono le [[Distribuzione di Maxwell-Boltzmann|distribuzioni di Maxwell]] nel caso di un gas di Fermi. Il numero totale di particelle si ottiene integrando la (7):
+Las expresiones (6) y (7) son las [[Distribución de Maxwell-Boltzmann|distribuciones de Maxwell]] en el caso de un gas de Fermi. El número total de partículas se obtiene integrando la expresión (7):
 :(8)<math>N = \frac{g V m^{3/2}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3} \int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{\epsilon} \, d\epsilon}{e^{(\epsilon - \mu)/kT} + 1}</math>
+mientras a partir de la (6) se obtiene la energía:
-mentre dalla (6) si ricava l'energia:
 :(9)<math>\int_{0}^{\infty} \epsilon \, dN_{\epsilon} = \frac{g V m^{3/2}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3} \int_{0}^{\infty} \frac{\epsilon^{3/2} \, d\epsilon}{e^{(\epsilon - \mu)/kT} + 1}</math>
+Podemos obtener el ''potencial termodinámico'' a partir de la (7):
-Possiamo ricavare il ''potenziale termodinamico'' dalla (7):
 :(10)<math>\Omega = - \frac{V g T \sqrt{(m)^3}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3} \int_{0}^{\infty} \frac{\epsilon^{3/2} \, d\epsilon}{e^{(\epsilon -\mu) /kT} + 1}</math>
-esso coincide con l'energia a meno di un fattore:
+que coincide con la energía excepto en un factor:
 :(11)<math>\Omega = - PV = \frac{2}{3} E</math>
-che è una relazione del tutto generale e vale per tutti i sistemi, sia di Bose, che di Fermi e di Boltzmann.
+que es una relación del todo general que vale para todos los sistemas o distribuciones, sean de Bose, de Fermi o de Boltzmann.
+<!--
-== Gas di Fermi completamente degenere ==
+== Gas di Fermi completamente degenerado ==
 Supponiamo di avere un gas di fermioni di spin <math>s = 1/2</math> (quindi <math>g = 2s+1 = 2</math>), ad esempio elettroni, a temperatura assoluta <math>T = 0 \, K</math>; gli elettroni a tale temperatura cercano di porsi negli stati a energia minore in modo che il totale dell'energia sia il valore più basso possibile, partendo dallo stato a energia nulla, fino ad un certo valore.