Función elíptica de Jacobi

Las funciones elípticas de Jacobi son funciones definidas a partir de la integral elíptica de primera especie y aparecen en diversos contextos, deben su nombre al matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi.

En física aparecen por ejemplo las oscilaciones de un péndulo con grandes amplitudes sometido a la gravedad, o el movimiento de una peonza asimétrica.

Definición

Consideremos la integral elíptica incompleta de primera especie definida como:

$u=F_{k}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dv}{\sqrt {(1-v^{2})(1-k^{2}v^{2})}}}$

La inversa de esta función es la primera de las tres funciones elípticas de Jacobi:

${\mbox{sn}}\ u=x=F_{k}^{-1}(u)$

Las otras dos funciones elípticas de Jacobi se definen a partir de esta por las relaciones siguientes:

${\mbox{cn}}\ u={\sqrt {1-{\mbox{sn}}^{2}u}}={\sqrt {1-x^{2}}}\qquad {\mbox{dn}}\ u={\sqrt {1-k^{2}{\mbox{sn}}^{2}u}}={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}$

Propiedades

En primer lugar las funciones elípticas satisfacen un conjunto de de identidades análogo al que satisfacen las funciones trigonométricas:

${\mbox{cn}}^{2}u+{\mbox{sn}}^{2}u=1\;\qquad {\mbox{dn}}^{2}u+k^{2}{\mbox{sn}}^{2}u=1\qquad {\mbox{dn}}^{2}u-k^{2}{\mbox{cn}}^{2}u=1-k^{2}$

En cuanto a los valores particulares se tiene que para u = 0 las funciones valen:

${\mbox{cn}}(0)=1\qquad {\mbox{sn}}(0)=0\qquad {\mbox{dn}}(0)=1\;$

Las funciones elípticas pueden considerarse una generalización de las funciones trigonométricas de hecho cuando k tiende a cero las funciones elípticas de Jacobi se reducen a las funciones trigonométricas convencionales:

$\lim _{k\to 0}\ {\mbox{sn}}\ u=\sin u\qquad \lim _{k\to 0}\ {\mbox{cn}}\ u=\cos u\qquad \lim _{k\to 0}\ {\mbox{dn}}\ u=1$

Las respectivas series de Taylor vienen dadas por:

${\mbox{sn}}\ u=u-(1+k^{2}){\frac {u^{3}}{3!}}+(1+14k^{2}+k^{4}){\frac {u^{5}}{5!}}-(1+135k^{2}+135k^{4}+k^{6}){\frac {u^{7}}{7!}}+\dots$

${\mbox{cn}}\ u=1-{\frac {u^{2}}{2!}}+(1+k^{2}){\frac {u^{4}}{4!}}-(1+44k^{2}+16k^{4}){\frac {u^{6}}{6!}}+\dots$

${\mbox{dn}}\ u=1-k^{2}{\frac {u^{2}}{2!}}+k^{2}(4+k^{2}){\frac {u^{4}}{4!}}-k^{2}(16+44k^{2}+k^{4}){\frac {u^{7}}{7!}}+\dots$

Fórmulas de adición

Análogamente a las fórmulas de adición de ángulos para las fórmulas trigonométricas, para la funciones elípticas de Jacobi pueden establecerse las siguientes relaciones:

${\mbox{sn}}(u+v)={\frac {{\mbox{sn}}\ u\ {\mbox{cn}}\ v\ {\mbox{dn}}\ v\ +{\mbox{cn}}\ u\ {\mbox{sn}}\ v\ {\mbox{dn}}\ u}{1-k^{2}{\mbox{sn}}^{2}u\ {\mbox{sn}}^{2}v}}$

${\mbox{cn}}(u+v)={\frac {{\mbox{cn}}\ u\ {\mbox{cn}}\ v\ -{\mbox{sn}}\ u\ {\mbox{sn}}\ v\ {\mbox{dn}}\ u\ {\mbox{dn}}\ v}{1-k^{2}{\mbox{sn}}^{2}u\ {\mbox{sn}}^{2}v}}$

${\mbox{dn}}(u+v)={\frac {{\mbox{dn}}\ u\ {\mbox{dn}}\ v\ -k^{2}{\mbox{sn}}\ u\ {\mbox{sn}}\ v\ {\mbox{cn}}\ u\ {\mbox{cn}}\ v}{1-k^{2}{\mbox{sn}}^{2}u\ {\mbox{sn}}^{2}v}}$

Funciones elípticas de Jacobi secundarias

A partir de los cocientes de las funciones de Jacobi anteriormente definidas es común definir otras funciones derivadas. En primer lugar se definen las funciones recíprocas:

${\mbox{ns}}\ u={\frac {1}{{\mbox{sn}}\ u}}\qquad {\mbox{nc}}\ u={\frac {1}{{\mbox{cn}}\ u}}\qquad {\mbox{nd}}\ u={\frac {1}{{\mbox{dn}}\ u}}$

En segundo lugar los cocientes:

${\mbox{sc}}\ u={\frac {{\mbox{sn}}\ u}{{\mbox{cn}}\ u}}\qquad {\mbox{sd}}\ u={\frac {{\mbox{sn}}\ u}{{\mbox{dn}}\ u}}\qquad {\mbox{cd}}\ u={\frac {{\mbox{cn}}\ u}{{\mbox{dn}}\ u}}$

Junto con sus respectivas funcione recíprocas:

${\mbox{cs}}\ u={\frac {{\mbox{cn}}\ u}{{\mbox{sn}}\ u}}\qquad {\mbox{ds}}\ u={\frac {{\mbox{dn}}\ u}{{\mbox{sn}}\ u}}\qquad {\mbox{dc}}\ u={\frac {{\mbox{dn}}\ u}{{\mbox{cn}}\ u}}$

Existen así un total de 12 funciones elípticas de Jacobi.

Referencia

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