Álgebra conmutativa

En álgebra abstracta, el álgebra conmutativa es el campo de estudio de los anillos conmutativos, sus ideales, módulos y álgebras. Es una materia fundacional tanto para la geometría algebraica como para la teoría algebraica de números.

Se considera que el fundador real de la materia, en la época en la que se llamaba teoría de ideales, es David Hilbert. Parece que él piensa sobre ella (alrededor del 1900) como un enfoque alternativo a la entonces de moda teoría de funciones complejas. Este enfoque sigue cierta "línea" de pensamiento que considera que los aspectos computacionales son secundarios respecto a los estructurales. El concepto adicional de módulo, presentado de alguna manera en el trabajo de Kronecker, es técnicamente un paso adelante si lo comparamos con trabajar siempre directamente en el caso especial de los ideales. Este cambio se atribuye a la influencia de Emmy Noether.

Dado el concepto de esquema, el álgebra conmutativa es pensada, comprendida, de forma razonable, bien como la teoría local o bien como la teoría afín de la geometría algebraica.

El estudio general de anillos sin requerir conmutatividad se conoce como álgebra no conmutativa; es materia de la teoría de anillos, de la teoría de la representación y también de otras áreas como la teoría de las álgebras de Banach.

Introducción

El álgebra conmutativa es esencialmente el estudio de los anillos que ocurren en la teoría algebraica de números y la geometría algebraica.

En la teoría algebraica de números, los anillos de números enteros algebraicos son anillos de Dedekind, que constituyen, por tanto, una clase importante de anillos conmutativos. Las consideraciones relacionadas con la aritmética modular han llevado a la noción de un anillo de valoración. La restricción de extensiones de campo algebraico a subanillos ha llevado a las nociones de extensiones integrales y dominios integralmente cerrados, así como a la noción de ramificación de una extensión de anillos de valoración.

La noción de localización de un anillo (en particular la localización con respecto a un ideal primo, la localización que consiste en invertir un solo elemento y el anillo del cociente total ) es una de las principales diferencias entre el álgebra conmutativa y la teoría de los anillos no conmutativos. Conduce a una clase importante de anillos conmutativos, los anillos locales que tienen un solo ideal máximo. El conjunto de los ideales principales de un anillo conmutativo está naturalmente equipado con una topología, la topología de Zariski. Todas estas nociones son muy utilizadas en geometría algebraica y son las herramientas técnicas básicas para la definición de la teoría de esquemas, una generalización de la geometría algebraica introducida por Grothendieck.

Muchas otras nociones de álgebra conmutativa son contrapartidas de las nociones geométricas que ocurren en la geometría algebraica. Este es el caso de la dimensión de Krull, descomposición primaria, anillos regulares, anillos de Cohen-Macaulay, anillos Gorenstein y muchas otras nociones.

Conexiones con geometría algebraica

El álgebra conmutativa (en forma de anillos polinomiales y sus cocientes, utilizados en la definición de variedades algebraicas) siempre ha formado parte de la geometría algebraica. Sin embargo, a finales de la década de 1950, las variedades algebraicas se incluyeron en el concepto de esquema de Alexander Grothendieck. Sus objetos locales son esquemas afines o espectros primos, que son espacios anillados localmente, que forman una categoría que es antiequivalente (dual) a la categoría de anillos unitales conmutativos, extendiendo la dualidad entre la categoría de variedades algebraicas afines sobre un campo k, y la categoría de k reducido generado finitamente-álgebras. El encolado se realiza a lo largo de la topología de Zariski; se puede pegar dentro de la categoría de espacios anillados localmente, pero también, usando la incrustación de Yoneda, dentro de la categoría más abstracta de pre-oleadas de conjuntos sobre la categoría de esquemas afines. La topología de Zariski en el sentido de la teoría de conjuntos se reemplaza luego por una topología de Zariski en el sentido de la topología de Grothendieck. Grothendieck introdujo las topologías de Grothendieck teniendo en cuenta ejemplos más exóticos pero geométricamente más finos y más sensibles que la topología de Zariski, a saber, la topología étale y las dos topologías planas de Grothendieck: fppf y fpqc. Hoy en día algunos otros ejemplos se han vuelto prominentes, incluida la topología de Nisnevich. Además, las gavillas se pueden generalizar a pilas en el sentido de Grothendieck, generalmente con algunas condiciones de representabilidad adicionales, lo que lleva a pilas de Artin e, incluso más finas, pilas de Deligne-Mumford, ambas a menudo llamadas pilas algebraicas.

Referencias

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