Diferencia entre revisiones de «Tautología»

Tautología
	; Diagrama de Venn de la conectiva
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Lenguaje formal
Tabla de verdad
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En lógica proposicional, una tautología (del griego ταυτολογία ‘decir lo mismo’) es una fórmula bien formada que resulta verdadera para cualquier interpretación; es decir, para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas.^[1]^[2] La construcción de una tabla de verdad es un método efectivo para determinar si una fórmula cualquiera es una tautología o no.^[2]

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Artículo principal: Tabla de verdad

En un sistema de lógica proposicional, una interpretación es una asignación de valores de verdad (verdadero o falso) a cada una de las fórmulas atómicas bajo consideración. Diferentes interpretaciones, por lo tanto, difieren solo en las asignaciones de valores de verdad que hacen. Una tautología es una fórmula bien formada que resulta verdadera bajo todas las interpretaciones posibles de sus fórmulas atómicos. Por lo tanto, para determinar si una fórmula cualquiera es una tautología, basta con considerar todas las posibles interpretaciones de las fórmulas atómicas, y calcular el valor de verdad de la fórmula completa. Esto se logra mediante una tabla de verdad. Por ejemplo, considérese la fórmula p ∧ q. Como a cada fórmula atómica se le puede asignar uno de dos posibles valores de verdad, entonces hay en total 2² = 4 posibles combinaciones de valores de verdad. Es decir, cuatro interpretaciones posibles: o ambas son verdaderas; o p es verdadera y q falsa; o p es falsa y q verdadera; o ambas son falsas. Esto se puede presentar mediante una simple tabla:

{\begin{array}{c|c}p&q\\\hline V&V\\V&F\\F&V\\F&F\\\end{array}}

Para cada una de estas interpretaciones, se puede calcular el valor de verdad de la fórmula p ∧ q. Los resultados se pueden presentar nuevamente mediante una tabla:

{\begin{array}{c|c|c}p&q&p\land q\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&F\\\end{array}}

Esta es la tabla de verdad de la fórmula p ∧ q. Como se ve, esta fórmula solo es verdadera bajo una interpretación: aquella en la que ambas fórmulas atómicas son verdaderas. Una tautología es una fórmula que es verdadera para todas las interpretaciones posibles de las fórmulas atómicas. Por lo tanto, p ∧ q no es una tautología. En cambio, la siguiente tabla de verdad muestra una fórmula que sí lo es:

{\begin{array}{c|c|c|c}p&q&p\land q&(p\land q)\to p\\\hline V&V&V&V\\V&F&F&V\\F&V&F&V\\F&F&F&V\\\end{array}}

Si una fórmula tiene n fórmulas atómicas distintas, entonces tiene 2ⁿ interpretaciones posibles. En muchos casos, por lo tanto, las tablas de verdad pueden ser muy grandes. Lo importante, sin embargo, es que dado que la lógica proposicional no admite fórmulas infinitamente largas, el número de interpretaciones posibles siempre será finito, y por lo tanto siempre será posible decidir si una fórmula cualquiera es una tautología o no.

Operación nularia

Siendo ${\mathcal {P}}$ el conjunto de proposiciones, y $a,b,c,d,\dots$ proposiciones de ${\mathcal {P}}$ , se puede definir la operación nularia: tautología, por la que sin argumentos o independientemente de los argumentos, a una variable $a\,$ de ${\mathcal {P}}$ se le asigna el valor verdadero.

{\begin{array}{rrcl}\top :&\varnothing &\longrightarrow &{\mathcal {P}}\\&()&\mapsto &a=\top ()=V\end{array}}

Una tautología es equivalente al valor verdadero, independientemente de los argumentos de la expresión o función a la que se puede reducir, a la derecha se puede ver diagramas de Venn que representan el valor verdadero para: ninguna, una o dos variables. Esto es una función o relación de variables lógicas o booleanas es una tautología si es equivalente al valor verdadero para todos los posibles valores de sus variables.

Véase también

Notas y referencias

↑ «tautology». The Oxford Dictionary of Philosophy (en inglés). Oxford University Press. Consultado el 7 de octubre de 2009.
↑ ^a ^b Barcan Marcus, Ruth. «tautology». The Oxford Companion to Philosophy (en inglés). Oxford University Press. Consultado el 7 de octubre de 2009.

Datos: Q209555

[Dictionary-1] «tautology». The Oxford Dictionary of Philosophy (en inglés). Oxford University Press. Consultado el 7 de octubre de 2009.

[Companion-2] Barcan Marcus, Ruth. «tautology». The Oxford Companion to Philosophy (en inglés). Oxford University Press. Consultado el 7 de octubre de 2009.

[1]

[2]

@@ Línea 18: / Línea 18: @@
 En [[lógica proposicional]], una '''tautología''' (del [[Idioma griego|griego]] ''ταυτολογία'' ‘decir lo mismo’) es una [[fórmula bien formada]] que resulta verdadera para cualquier [[Interpretación (lógica)|interpretación]]; es decir, para cualquier asignación de [[Valor de verdad|valores de verdad]] que se haga a sus [[Fórmula atómica|fórmulas atómicas]].<ref name=Dictionary>{{cita enciclopedia |título=tautology |idioma=inglés |url=http://www.oxfordreference.com/views/ENTRY.html?subview=Main&entry=t98.e3047 |enciclopedia=The Oxford Dictionary of Philosophy |editorial=[[Oxford University Press]] |fechaacceso=7 de octubre de 2009}}</ref><ref name=Companion>{{cita enciclopedia |apellidos=Barcan Marcus |nombre=Ruth |título=tautology |idioma=inglés |url=http://www.oxfordreference.com/views/ENTRY.html?subview=Main&entry=t116.e2481 |enciclopedia=The Oxford Companion to Philosophy |editorial=Oxford University Press |fechaacceso=7 de octubre de 2009}}</ref> La construcción de una [[tabla de verdad]] es un [[método efectivo]] para determinar si una fórmula cualquiera es una tautología o no.<ref name=Companion/>
+== popopopopopopopopopopopopopopopopopopopoopopopooopoopoppp
-== Tablas de verdad ==
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 {{AP|Tabla de verdad}}
 En un sistema de lógica proposicional, una interpretación es una asignación de valores de verdad (verdadero o falso) a cada una de las fórmulas atómicas bajo consideración. Diferentes interpretaciones, por lo tanto, difieren solo en las asignaciones de valores de verdad que hacen. Una tautología es una fórmula bien formada que resulta verdadera bajo todas las interpretaciones posibles de sus fórmulas atómicos. Por lo tanto, para determinar si una fórmula cualquiera es una tautología, basta con considerar todas las posibles interpretaciones de las fórmulas atómicas, y calcular el valor de verdad de la fórmula completa. Esto se logra mediante una tabla de verdad. Por ejemplo, considérese la fórmula ''p'' &and; ''q''. Como a cada fórmula atómica se le puede asignar uno de dos posibles valores de verdad, entonces hay en total 2<sup>2</sup> = 4 posibles combinaciones de valores de verdad. Es decir, cuatro interpretaciones posibles: o ambas son verdaderas; o ''p'' es verdadera y ''q'' falsa; o ''p'' es falsa y ''q'' verdadera; o ambas son falsas. Esto se puede presentar mediante una simple tabla:
@@ Línea 60: / Línea 104: @@
 Si una fórmula tiene ''n'' fórmulas atómicas distintas, entonces tiene 2<sup>''n''</sup> interpretaciones posibles. En muchos casos, por lo tanto, las tablas de verdad pueden ser muy grandes. Lo importante, sin embargo, es que dado que la lógica proposicional no admite fórmulas infinitamente largas, el número de interpretaciones posibles siempre será finito, y por lo tanto siempre será posible [[Decidibilidad|decidir]] si una fórmula cualquiera es una tautología o no.
 == Operación nularia ==

Conectivas lógicas

Tautología $\top$ Conjunción opuesta $\uparrow$ Implicación opuesta $\leftarrow$ Condicional material $\rightarrow$ Disyunción lógica $\lor$ Negación lógica $\lnot$ Disyunción exclusiva $\nleftrightarrow$ Bicondicional $\leftrightarrow$ Afirmación lógica Disyunción opuesta $\downarrow$ Adjunción lógica $\nrightarrow$ Adjunción opuesta $\nleftarrow$ Conjunción lógica $\land$ Contradicción $\bot$
v t e