Diferencia entre revisiones de «Programa de Erlangen»

Ir a la navegación Ir a la búsqueda
221 bytes añadidos ,  hace 1 año
m
→‎El Programa de Erlangen: mínimo cambio de redacción e incorporación de enlaces internos
m (→‎El Programa de Erlangen: inclusión de enlaces internos)
m (→‎El Programa de Erlangen: mínimo cambio de redacción e incorporación de enlaces internos)
== El Programa de Erlangen ==
 
Con motivo de su ingreso como profesor en la Facultad de Filosofía y al Senado de la Universidad de Erlangen, Klein escribió una memoria en 1872 (que por cierto no llegó a leer en público) que puede considerarse, junto a la Conferencia de Riemann y a los [[Elementos de Euclides]], como los puntos esenciales del estudio de la [[Geometría]].
 
La idea de la memoria, conocida como el ''Programa de Erlangen'', es bastante sencilla. Se trata de dar una definición formal de lo que es una [[Geometría|geometría]]geometría, más allá de la idea más o menos intuitiva que tenemos de ella.
 
Ante la aparición de las nuevas [[Geometría no euclidiana|geometrías no euclidianas]], parece lógico preguntarse qué es la [[Geometría]], máxime cuando la propia idea de la geometría euclidiana se había visto modificada desde la irrupción de los métodos algebraicos y analíticos. Empieza a no estar tan claro que la [[Geometría]] sea el estudio de puntos, líneas (rectas o curvas) y superficies, puesto que el propio [[Análisis matemático|Análisis Matemático]] (sobre todo en el estudio de [[Ecuación diferencial|Ecuaciones Diferenciales]]) parece queestudiar también estudia tales objetos. Por otra parte, los métodos analíticos y algebraicos también son aplicables a las [[Geometría no euclidiana|geometrías no euclidianas]]. Hay, digamos, dos niveles de distinciones: por un lado, la de las [[Geometría no euclidiana|geometrías no euclidianas]] y la [[Geometría euclidiana|geometría euclidiana]], por otro lado, la distinción entre el método sintético, el algebraico y el analítico.
 
¿Qué es entonces la [[Geometría]]?
*La operación debe ser asociativa: esto quiere decir que si tomamos cualesquiera tres elementos <math>a,b,c</math> del conjunto, el resultado de operar los dos primeros (<math>a</math> y <math>b</math>) y operar el resultado de ello con el tercero (<math>c</math>) debe de ser lo mismo que si primero operamos el segundo y el tercero (<math>b</math> y <math>c</math>) y el resultado lo operamos con el primero (<math>a</math>). Es decir, si la operación la denotamos por <math>\star</math> ha de ocurrir que <math>a \star (b \star c)</math> debe de ser lo mismo que <math>(a \star b) \star c</math>.
 
*Debe existir un [[Elemento neutro|elemento neutro]]: esto quiere decir que ha de haber un elemento <math>e</math> del conjunto de manera que si tomo cualquier otro elemento <math>a</math> del conjunto y lo opero con él, entonces el resultado vuelve a ser el elemento <math>a</math>, es decir, es como si al elemento <math>a</math> no lo hubiera operado. Así, con nuestra notación, <math>e \star a = a</math> y <math>a \star e = a</math>.
 
* Por último, cada elemento debe tener un [[Elemento simétrico|elemento simétrico]]: esto quiere decir que si yo tomo un elemento cualquiera <math>a</math> del conjunto, entonces puedo encontrar otro elemento <math> \hat{a}</math> del conjunto de tal manera que al operar ambos, el resultado que obtengo es el [[Elemento neutro|elemento neutro]]: <math> a \star \hat{a} = \hat{a} \star a = e</math>.
 
El concepto de grupo no es invención de Klein, pero es él el que descubre un hecho fundamental que lo relaciona con las distintas geometrías: cada [[Geometría|geometría]] es el estudio de ciertas propiedades que no cambian cuando se le aplican un tipo de transformaciones. Esas propiedades, por no cambiar, las denomina [[Invariante|invariantes]], y las transformaciones que no hacen cambiar a un [[Invariante|invariantesinvariante]] no le hacen cambiar han de tener estructura de grupo bajo la operación de composición (componer dos transformaciones es hacer una de ellas y aplicarle la otra transformación al resultado de la primera).
 
Así Klein descubre que, por ejemplo, la [[Geometría euclidiana|geometría euclidiana]] es el estudio de los [[Invariante|invariantes]] mediante el grupo de los [[Cinemática del sólido rígido#Movimientos de un sólido rígido|movimientos rígidos]] (como las simetrías, giros y traslaciones), que la [[Geometría afín|geometría afín]] es el estudio de los [[Invariante|invariantes]] mediante el grupo de las traslaciones, que la [[geometría proyectiva]] es el estudio de los [[Invariante|invariantes]] mediante el grupo de las proyectividades, e incluso que la [[Topología]] es el estudio de los [[Invariante|invariantes]] mediante el grupo de las [[Función continua|funciones continuas]] y de inversa continua, entre otras.
 
De hecho, Klein afirma que la comprensión de "tener una geometría, entonces hay un ''grupo principal''" es más bien al revés. Uno a priori dice qué tipo de transformaciones admitirá (es decir, establece el grupo) y todo lo demás se puede reconstruir a partir de él. Se demuestra incluso, que si uno da un subgrupo de las biyecciones de un conjunto en sí mismo isomorfo a algún grupo clásico (simetrías, traslaciones, proyectividades) entonces todos los teoremas de esa geometría son válidos en este.
256

ediciones

Menú de navegación