Diferencia entre revisiones de «Programa de Erlangen»

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→‎El Programa de Erlangen: Corrección de un enlace interno a Invariante en lugar del inexistente "invariantes"
(Historia de la geometría)
m (→‎El Programa de Erlangen: Corrección de un enlace interno a Invariante en lugar del inexistente "invariantes")
* Por último, cada elemento debe tener un elemento simétrico: esto quiere decir que si yo tomo un elemento cualquiera <math>a</math> del conjunto, entonces puedo encontrar otro elemento <math> \hat{a}</math> del conjunto de tal manera que al operar ambos, el resultado que obtengo es el elemento neutro: <math> a \star \hat{a} = \hat{a} \star a = e</math>.
 
El concepto de grupo no es invención de Klein, pero es él el que descubre un hecho fundamental que lo relaciona con las distintas geometrías: cada geometría es el estudio de ciertas propiedades que no cambian cuando se le aplican un tipo de transformaciones. Esas propiedades, por no cambiar, las denomina [[Invariante|invariantes]], y las transformaciones que a un invariante no le hacen cambiar han de tener estructura de grupo bajo la operación de composición (componer dos transformaciones es hacer una de ellas y aplicarle la otra transformación al resultado de la primera).
 
Así Klein descubre que, por ejemplo, la geometría euclidiana es el estudio de los invariantes mediante el grupo de los movimientos rígidos (como las simetrías, giros y traslaciones), que la geometría afín es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las translaciones, que la geometría proyectiva es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las proyectividades, e incluso que la Topología es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las funciones continuas y de inversa continua, entre otras.
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