Serie trigonométrica

Las series trigonométricas son un tipo de series con la forma:

${\frac {A_{0}}{2}}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cos {nx}+B_{n}\sin {nx}).$

Son denominadas series de Fourier cuando los términos $A_{n}$ y $B_{n}$ tienen la forma:

$A_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\cos {nx}\,dx\qquad (n=0,1,2,3\dots )$

$B_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\sin {nx}\,dx\qquad (n=1,2,3,\dots )$

donde $f$ es una función integrable.

Ceros de una serie trigonométrica

La unicidad y los ceros de las series trigonométricas fueron un área muy activa de investigación en el siglo XIX en Europa. Primero, Georg Cantor probó que si una serie trigonométrica es convergente hacia una función $f(x)$ en el intervalo $[0,2\pi ]$, cuando es idéntica a cero, o de forma más general, es no-nula en un conjunto finito de puntos, entonces los coeficientes de la serie son todos cero.​ Curiosamente, quinientos años antes los matemáticos de la India, especialmente los de la escuela de Kerala como Madhava de Sangamagrama y Neelakanta Somayaji ya habían creado las bases completas de la misma teoría.​

Más adelante Georg Cantor probó que si el conjunto S (en el que $f$ es no-nula) es infinito, pero el conjunto derivado S' de S es finito, entonces los coeficientes son todos cero. De hecho, probó un resultado más general. Sea S₀ = S y sea S_k+1 el conjunto derivado de S_k. Si hay un número finito n para el que S_n es finito, entonces todos los coeficientes son cero. Posteriormente, Lebesgue demostró que si hay un número ordinal α infinito tal que S_α es finito, entonces los coeficientes de la serie son todos cero. El trabajo de Cantor sobre el famoso problema de la unicidad de la serie le llevó al descubrimiento de los números ordinales transfinitos, que aparecen como los subíndices α en S_α.​

Bibliografía sobre series trigonométricas

Antoni Zygmund escribió un tratado clásico en dos volúmenes titulado "Trigonometric Series" (Series Trigonométricas), donde se analizan numerosos aspectos de estas series. La primera edición constaba de un solo volumen, publicado en 1935 (con el título ligeramente distinto "Trigonometrical Series"). La segunda edición de 1959 tuvo una gran difusión, abarcaba dos volúmenes, aunque fue reimpreso después en una edición de bolsillo en un solo tomo. La tercera edición de 2002 es similar a la segunda edición, con la adición de un prefacio de Robert A. Fefferman sobre desarrollos recientes, en particular sobre el teorema de Carleson sobre la convergencia de funciones cuadráticas integrables.

Bibliografía

• Zygmund, Antoni (2002), Fefferman, Robert A., ed., Trigonometric series. Vol. I, II, Cambridge Mathematical Library (3rd edición), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89053-3, MR 1963498 .