Circunferencia inscrita y exinscrita en un triángulo

En geometría, la Circunferencia inscrita o círculo inscrito de un triángulo es el círculo más grande contenido en el triángulo; toca (es tangente a) los tres lados. El centro de la circunferencia inscrita se llama incentro​ del triángulo.

Triángulo (negro) con circunferencia inscrita (azul), incentro (I), circunferencia exinscripta (naranja), excentros (J_A,J_B,J_C), interno ángulo bisector (rojo) y ángulo bisector exterior (verde)

Una circunferencia exinscrita o círculo exinscrito​ del triángulo es un círculo exterior al triángulo, tangente a uno de sus lados y tangente a la extensión de los otros dos lados. Cada triángulo tiene tres circunferencias exinscritas distintas, cada una tangente a uno de los lados del triángulo.​

El centro de la circunferencia inscrita, llamado incentro, puede ser encontrado en la intersección de las tres bisectrices de los ángulos internos.​​ El centro de una circunferencia exinscrita es la intersección de la bisectriz de un ángulo interno (de vértice A, por ejemplo) y las bisectrices de los otros dos ángulos exteriores. El centro de esa circunferencia se llama excentro relativo al vértice A, o excentro de A.​ Debido a que la bisectriz interior de un ángulo es perpendicular a la bisectriz del ángulo exterior, se deduce que el centro de la circunferencia inscrita junto con los tres excentros forman un Sistema ortocéntrico.​

Los polígonos​ con más de tres lados no todos tienen circunferencias inscritas tangente a todos sus lados; estos se llaman polígonos tangenciales. Ver también rectas tangentes a la circunferencia.​

Relación con el área del triángulo

Los radios de las circunferencias inscritas y exinscritas están estrechamente relacionados con el área del triángulo.​

Circunferencia inscrita

Supongamos que $\triangle ABC$ tiene una circunferencia inscrita con radio r y centro I. Sea a la longitud de BC, b la longitud de AC, y c la longitud de AB. Ahora, la circunferencia inscrita es tangente a AB en algún punto C′, y así $\angle AC'I$ es correcto. Por tanto el radio C'I tiene una longitud de $\triangle IAB$. Por lo tanto $\triangle IAB$ tiene una base de medida c , una altura de medida r, y así el área es ${\tfrac {1}{2}}cr$. Del mismo modo, $\triangle IAC$ tiene área ${\tfrac {1}{2}}br$ y $\triangle IBC$ tiene área ${\tfrac {1}{2}}ar$. Dado que estos tres triángulos se descomponen $\triangle ABC$, vemos que :$\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,$      y      $r={\frac {\Delta }{s}},$

Donde $\Delta$ es el área de $\triangle ABC$ y $s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$ es su semi perímetro.

Para una fórmula alternativa, considera $\triangle IC'A$. Este es un triángulo rectángulo con un lado igual a r y otro lado igual a $r\cot {\frac {\angle A}{2}}$. Lo mismo es cierto para $\triangle IB'A$. El triángulo grande se compone por 6 triángulos y el total del área es :$\Delta =r^{2}\cdot (\cot {\frac {\angle A}{2}}+\cot {\frac {\angle B}{2}}+\cot {\frac {\angle C}{2}})$

Circunferencia exinscrita

Los radios en la circunferencia exinscrita son llamados exradios.La circunferencia exinscrita al lado AB toca al lado AC extendido en G, y el radio de esta circunferencia exisncrita $r_{c}$y su centro es $I_{c}$. Entonces $I_{c}G$ es la altura de $\triangle ACI_{c}$, así $\triangle ACI_{c}$ tiene área ${\tfrac {1}{2}}br_{c}$. Por un argumento similar, $\triangle BCI_{c}$ tiene área ${\tfrac {1}{2}}ar_{c}$ y $\triangle ABI_{c}$ tiene área ${\tfrac {1}{2}}cr_{c}$. Por tanto: $\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}$. Así, por simetría, :$\Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}$. Por Teorema del coseno, tenemos que: $\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

Combinando esto con la identidad $\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$, tenemos que: $\sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}$

Pero $\Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A$,y así: ${\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}$

Esta es la Fórmula de Herón.

Combinando esto con $sr=\Delta$, tenemos que :$r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.$

Del mismo modo, $(s-a)r_{a}=\Delta$ da: $r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}$ y :$r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.$​

A partir de estas fórmulas podemos ver que las circunferencias exisncritas son siempre más grandes que las circunferencias inscritas y la circunferencia exinscrita más grande es la que es tangente al lado más grande y la más chica es la tangente al lado más chico. Más lejos, combinando estas fórmulas:​$\Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.$

La relación del área de la circunferencia inscrita al área del triángulo es menor o igual a ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$, con la igualdad solo para el Triángulo equilátero.​

Construcciones relacionadas

Circunferencia de los nueve puntos y el punto de Feuerbach

La circunferencia tangente a las tres circunferencias exinscritas como a la circunferencia inscrita es conocido como circunferencia de los nueve puntos. El punto donde el círculo de nueve puntos toca la circunferencia inscrita es conocido como el punto de Feuerbach.

Triángulo y punto de Gergonne

triángulo, ΔABC, con circunferencia inscrita (azul), incentro (azul, I), triángulo de contacto (rojo, ΔT_aT_bT_c) y punto Gergonne (verde, Ge)

El triángulo de Gergonne (de ABC) está definido por los 3 puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los 3 lados. El punto de contacto opuesto al vértice A se nota T_A, etc.

Este triángulo de Gergonne T_AT_BT_C también se conoce como triángulo de contacto o triángulo en contacto con ABC.

Los tres segmentos AT_A, BT_B y CT_C se intersecan en un solo punto llamado punto de Gergonne, anotado como Ge - X(7). El punto de Gergonne se encuentra a la intemperie disco orthocentroidal perforado en su propio centro , y podría ser cualquier punto en él.​

Curiosamente, el punto de Gergonne del triángulo es el punto simediano del triángulo de Gergonne. Para un conjunto completo de propiedades del punto de Gergonne, véase.​

Coordenadas trilineales para los vértices donde el triángulo esta en contacto están dadas por

• ${\text{vértice}}\,A=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
• ${\text{vértice}}\,B=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
• ${\text{vértice}}\,C=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0$

Las coordenadas trilineales para el punto de Gergonne están dadas por

$\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$, o, equivalentemente, por el Teorema del seno,

${\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}$.

Triángulo y punto de Nagel

El triángulo de Nagel de ABC es notado por los vértices X_A, X_B y X_C que son los tres puntos donde cada circunferencia exinscrita toca al triángulo de referencia ABC y donde X_A es el opuesto al vértice A, etc. Este triángulo X_AX_BX_C se conoce como el triángulo explícito de ABC. La circunferencia circunscrita del triángulo explícito X_AX_BX_C es llamada círculo de Mandart. Los tres segmentos AX_A, BX_B y CX_C se denominan divisores del triángulo; cada uno de ellos biseca el perímetro del triángulo, y los tres se intersecan en un solo punto, el Punto de Nagel del triánguloNa - X(8).

Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo explícito están dadas por:

• ${\text{vértice}}\,A=0:\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
• ${\text{vértice}}\,B=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
• ${\text{vértice}}\,C=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0$

Las coordenadas trilineales del punto de Nagel están dadas por:

$\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$,

o, equivalentemente a, según el teorema del seno,

${\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}$.

Esto es el conjugado isotómico del punto de Gergonne.