Función diferenciable

El concepto de función diferenciable es una generalización para el cálculo en varias variables del concepto más simple de función derivable. En esencia una función diferenciable admite derivadas en cualquier dirección y puede aproximarse al menos hasta primer orden por una aplicación afín.

La formulación rigurosa de esta idea intuitiva sin embargo es algo más complicada y requiere de conocimientos de álgebra lineal. Debe notarse que aunque una función de varias variables admita derivadas parciales según cada una de sus variables no necesariamente eso implica que sea una función diferenciable.

Definición

Una función de varias variables se dirá diferenciable en $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ si $f:\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$, siendo $\Omega$ un conjunto abierto en $\mathbb {R} ^{n}$, si existe una transformación lineal $T\,$ que cumpla:

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+T(h)+\theta (h)\;$

Donde $\theta (h)$ cumple que:

$\lim _{h\to 0}{\frac {\lVert \Theta (h)\rVert }{\lVert h\rVert }}=0$

o sea $\theta (h)$ tiende a cero "más rápido" que función lineal, cuando h tiende a 0. Necesariamente la transformación lineal $T\;$ es la única cosa que se ve más claramente si adoptamos como definición de función derivable aquella para la cual se cumple que exista una aplicación lineal tal que:

$\lim _{h\to 0}{\frac {\|f(a+h)-f(a)-T(h)|}{\|h\|}}=0$

Visualización Geométrica

Para fijar ideas, usando una función $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ cuyo gráfico sería una "sábana". La función es diferenciable si la "sábana" no está "quebrada" en los puntos donde es diferenciable, o sea la función es "suave" en todos los puntos de su dominio, existiendo la matriz jacobiana o derivada en esos puntos.

Ejemplos

De función diferenciable

La función f(x,y) es diferenciable, puesto que existen las derivadas parciales en un entorno de cualquier punto y son continuas en él:

$f(x,y)=e^{x+y}\;$

De función derivable no-diferenciable

En cambio la función g(x,y) es continua, admite derivadas según las variables x e y, e incluso derivadas direccionales, sin embargo no es diferenciable en (0,0):

$g(x,y)={\frac {x|y|}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

De función no-derivable y no-diferenciable

La función $h(x,y)\;$ no es diferenciable en (0,0) puesto que no es continua en ese punto a pesar de que existen derivadas parciales de cualquier orden en el punto (0,0):

$h(x,y)={\frac {xy^{2}}{x^{4}+y^{4}}}$

Referencias

• Bombal, R. Marín & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.

Véase también

• función derivable (caso de una función de una variable.)