Intersección de conjuntos

En la teoría de conjuntos, la intersección es una operación binaria en el conjunto de todos los subconjuntos de un U, Conjunto universal, dado. Por la cual a cada par de conjuntos A y B de U se le asocia otro conjunto: $(A\cap B)$ de U.

$A\cap B$

Si A y B son dos de ellos entonces su intersección se simboliza y se define como:

$A\cap B=\{x\in U\mid \ x\in A\ \land \ x\in B\}$

La intersección de A y B, es el conjunto de elementos x de U, tal que, x pertenezca a A, y que, x pertenezca a B.

Esta operación es conmutativa, asociativa, tiene neutro y tiene inverso:

$A\cap B=B\cap A$

$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$

$A\cap \varnothing =\varnothing \cap A=\varnothing$

$A\cap A^{c}=A^{c}\cap A=\varnothing$

donde:

$A^{c}=\{x\in U\mid x\notin A\}$ es el complemento de A.

Por lo tanto el conjunto potencia de nuestro universo U y la operación $\cap$ forman una estructura algebraica tipo grupo abeliano.

Propiedades

Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera:

• 1. A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B.
• 2. A ∩ ∅ = ∅ y A ∩ U = A.
• 3. A ∩ A = A (propiedad idempotente).
• 4. A ∩ B = B ∩ A (propiedad conmutativa).
• 5. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (propiedad asociativa).
• 6. a. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• 6. b. (B ∪ C) ∩ A = (B ∩ A) ∪ (C ∩ A) (propiedad distributiva respecto de la unión).
• 7. A ∪ (A ∩ B) = A = A ∩ (A ∪ B) (ley de absorción).

Intersección generalizada

La intersección de dos conjuntos puede extenderse a un número cualquiera de conjuntos. Si :

$A_{1}\cap A_{2}\cap \dots \cap A_{n}=\{x\in U|x\in A_{1}\land x\in A_{n}\}$

La intersección de un número infinito de conjuntos $A_{\beta }\,$ se define como:

$\bigcap _{\beta \in B}A_{\beta }=\{x\in U|\ \forall \beta \in B:x\in A_{\beta }\}$

Cuando B es un conjunto de sólo dos elementos la definición anterior se reduce a la definición ordinaria para la unión de dos conjuntos.

Véase también

• Unión de conjuntos
• Diferencia de conjuntos
• Complemento de un conjunto