Divisibilidad

Decimos que un número entero b es divisible entre otro entero a (distinto de cero) si existe un tercer entero c tal que:

b = a · c

Se suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b, o a es divisor de b, o también b es múltiplo de a. Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero. Véase el algoritmo de la división.

Todo número entero mayor que 1 es divisible por 1 y por sí mismo. Los números que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos

Propiedades

Sean $a,b,c\in \mathbb {Z}$, es decir $\ a$, $\ b$ y $\ c$ son números enteros. Tenemos las siguientes propiedades básicas:

1. $a\mid a$ (Propiedad Refleja).
2. Si $a\mid b$ y $b\mid c$, entonces $a\mid c$ (Propiedad Transitiva).
3. Si $a\mid b$ , entonces $|a|\leq |b|$.
4. Si $a\mid b$ y $a\mid c$, entonces $a\mid \beta b+\gamma c\ \ \forall \ \beta ,\gamma \in \mathbb {Z}$.
5. Si $a\mid b$ y $a\mid b\pm \ c$, entonces $a\mid c$
6. Si $a\mid b$ y $b\mid a$, entonces $\ |a|=|b|$.
7. Si $a\mid b$ y $b\neq 0$, entonces ${\frac {b}{a}}\mid b$.
8. Para $c\neq 0$, $a\mid b$ si y sólo si $ac\mid bc$
9. Si $a\mid bc$ y $\ mcd(a,b)=1$, entonces $a\mid c$.
10. Si $\ mcd(a,b)=1$ y $\ c$ cumple que $a\mid c$ y $b\mid c$, entonces $ab\mid c$.

Como $0=0\cdot n$ y $n=n\cdot 1$ se tiene que $n\mid 0$ y $1\mid n$ para todo $\ n$ entero. Si $\ m$ no es divisible por $\ n$ escribimos $n\nmid m$. Notemos que $0\nmid m$ para todo $\ m$ distinto de cero, pues $m\neq 0=k\cdot 0$ para todo $\ k$ entero. .

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división:

Número	Criterio	Ejemplo
2	El número termina en cero o cifra par.	378: porque "8" es par.
3	La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.	480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.
4	El número formado por las dos últimas cifras es 00 ó múltiplo de 4.	7324: porque 24 es múltiplo de 4.
5	La última cifra es 0 ó 5.	485: porque acaba en 5.
6	El número es divisible por 2 y por 3.	24: Ver criterios anteriores.
7	Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le resta la última multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de 7, el número original también lo es.	469: porque 46-(9*2)= 28 que es múltiplo de 7.
	Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un múltiplo de 7.	52176376: porque (37-12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 es múltiplo de 7.
8	El número formado por las tres últimas cifras es 000 ó múltiplo de 8.	27280: porque 280 es múltiplo de 8.
9	La suma de sus cifras es múltiplo de 9.	3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.
10	La última cifra es 0.	470: La última cifra es 0.
11	Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste. Si el número tiene dos cifras será multiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.	42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 11 es múltiplo de 11 66: porque las dos cifras son iguales.Entonces 66 es Múltiplo de 11
12	El número es divisible por 3 y 4.	528: Ver criterios anteriores.
13	Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le suma la última multiplicada por 4. Si el resultado es múltiplo de 13, el número original también lo es.	364: porque 36+4·4= 52 es múltiplo de 13.
	Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar y restar alternativamente los grupos de derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al resultado obtenido. Si es múltiplo de 13, el número original también lo es.	432549: porque 549-432 = 117 y luego 11 * 4·7 = 39 es múltiplo de 13.

Véase también

• Tabla de divisores
• Máximo común divisor