Algoritmo

Los diagramas de flujo sirven para representar algoritmos de manera gráfica.

En matemáticas, ciencias de la computación y disciplinas relacionadas, un algoritmo (del latín, dixit algorithmus y éste a su vez del matemático persa Al Juarismi​) es una lista bien definida, ordenada y finita de operaciones que permite hallar la solución a un problema. Dado un estado inicial y una entrada, a través de pasos sucesivos y bien definidos se llega a un estado final, obteniendo una solución. Los algoritmos son objeto de estudio de la algoritmia.

Cómo regla mnemotécnica, se dice que un algoritmo es un fideo: finito, definido ,organizado.

En la vida cotidiana se emplean algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas. Algunos ejemplos se encuentran en los instructivos (manuales de usuario), los cuales muestran algoritmos para usar el aparato en cuestión o inclusive en las instrucciones que recibe un trabajador por parte de su patrón. También existen ejemplos de índole matemática, como el algoritmo de la división para calcular el cociente de dos números, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos enteros positivos, o el método de Gauss para resolver un Sistema lineal de ecuaciones.

Medios de expresión de un algoritmo

Los algoritmos pueden ser expresados de muchas maneras, incluyendo al lenguaje natural, pseudocódigo, diagramas de flujo y lenguajes de programación entre otros. Las descripciones en lenguaje natural tienden a ser ambiguas y extensas. El usar pseudocódigo y diagramas de flujo evita muchas ambigüedades del lenguaje natural. Dichas expresiones son formas más estructuradas para representar algoritmos; no obstante, se mantienen independientes de un lenguaje de programación específico.

La descripción de un algoritmo usualmente se hace en tres niveles:

1. Descripción de alto nivel. Se establece el problema, se selecciona un modelo matemático y se explica el algoritmo de manera verbal, posiblemente con ilustraciones y omitiendo detalles.
2. Descripción formal. Se usa pseudocódigo para describir la secuencia de pasos que encuentran la solución.
3. Implementación. Se muestra el algoritmo expresado en un lenguaje de programación específico o algún objeto capaz de llevar a cabo instrucciones.

También es posible incluir un teorema que demuestre que el algoritmo es correcto, un análisis de complejidad o ambos.

Diagrama de flujo

Diagrama de flujo que expresa un algoritmo para calcular la raíz cuadrada de un número $x$

Los diagramas de flujo son descripciones gráficas de algoritmos; usan símbolos conectados con flechas para indicar la secuencia de instrucciones y están regidos por ISO.

Los diagramas de flujo son usados para representar algoritmos pequeños, ya que abarcan mucho espacio y su construcción es laboriosa. Por su facilidad de lectura son usados como introducción a los algoritmos, descripción de un lenguaje y descripción de procesos a personas ajenas a la computación.

Pseudocódigo

Pseudocódigo es la descripción de un algoritmo que asemeja a un lenguaje de programación pero con algunas convenciones del lenguaje natural. Tiene varias ventajas con respecto a los diagramas de flujo, entre las que se destaca el poco espacio que se requiere para representar instrucciones complejas. El pseudocódigo no está regido por ningún estándar. pseudo viene de falso y por ende es un código al que aunque es entendible no se aplica al proceso que debe realizar la máquina.

Máquina de Turing

La máquina de Turing es un modelo matemático, diseñado por Alan Turing, que formaliza el concepto de algoritmo. A este modelo se le refiere comúnmente como la "descripción de más bajo nivel" por el hecho de que no utiliza ninguna expresión coloquial.

Implementación

Muchos algoritmos son ideados para implementarse en un programa. Sin embargo, los algoritmos pueden ser implementados en otros medios, como una red neuronal, un circuito eléctrico o un aparato mecánico y electrico. Algunos algoritmos inclusive se diseñan especialmente para implementarse usando lápiz y papel. El algoritmo de multiplicación tradicional, el algoritmo de Euclides, la criba de Eratóstenes y muchas formas de resolver la raíz cuadrada son sólo algunos ejemplos.

Algoritmos y funciones

Formalmente, un algoritmo calcula a una función. Como cualquier conjunto finito es numerable, y cualquier conjunto numerable no finito se puede expresar en términos del conjunto de los números naturales, en esencia, todo algoritmo calcula a funciones definidas en los numeros naturales. En este punto, una función está parcial o totalmente definida. Una función es parcial cuando hay números naturales que no pertenecen a su dominio (es decir, hay números naturales sobre los que no está definida la función), y una función es total en caso contrario.

Si una función es parcial, el algoritmo que lo calcula solo devolverá un resultado (es decir gasta un tiempo de cálculo finito) para los valores en los que la función está definida, no devolviendo resultado (el tiempo de cálculo es infinito) para el resto de valores. Si un algoritmo que calcula a una función parcial devolviera un resultado para los valores no definidos de la función, entonces no calcularía a esa función sino a otra. Del mismo modo, un algoritmo que calcula a una función total siempre devuelve un resultado para todo valor, y que al igual que las funciones parciales, éste debe coincidir exactamente con el valor que devuelve la función a la que calcula; y reiterativamente, en caso contrario, no calcularía a esa función sino a otra. Así, todo algoritmo (secuencia de pasos finita, ordenada y definida) calcula a una función definida sobre los números naturales, sea cuál sea ésta su naturaleza.

Toda función para la cual exista un algoritmo que lo calcule se denomina función computable (parcialmente computable o totalmente computable depende del grado de definición de la función en cuestión), pero existen funciones que no pueden ser calculadas que son denominadas funciones no computables.

Análisis de algoritmos

Como medida de la eficiencia de un algoritmo, se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo. El análisis de algoritmos se ha desarrollado para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolución del gasto de tiempo y memoria en función del tamaño de los valores de entrada.

El análisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computación y, en la mayoría de los casos, su estudio es completamente abstracto sin usar ningún tipo de lenguaje de programación ni cualquier otra implementación; por eso, en ese sentido, comparte las características de las disciplinas matemáticas. Así, el análisis de los algoritmos se centra en los principios básicos del algoritmo, no en los de la implementación particular. Una forma de plasmar (o algunas veces "codificar") un algoritmo es escribirlo en pseudocódigo o utilizar un lenguaje muy simple tal como Léxico, cuyos códigos pueden estar en el idioma del programador.

Algunos escritores restringen la definición de algoritmo a procedimientos que deben acabar en algún momento, mientras que otros consideran procedimientos que podrían ejecutarse eternamente sin pararse, suponiendo el caso en el que existiera algún dispositivo físico que fuera capaz de funcionar eternamente. En este último caso, la finalización con éxito del algoritmo no se podría definir como la terminación de éste con una salida satisfactoria, sino que el éxito estaría definido en función de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecución del algoritmo. Por ejemplo, un algoritmo que verifica que hay más ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor útil. Si se implementa correctamente, el valor devuelto por el algoritmo será válido, hasta que evalúe el siguiente dígito binario. De esta forma, mientras evalúa la siguiente secuencia podrán leerse dos tipos de señales: una señal positiva (en el caso de que el número de ceros sea mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario. Finalmente, la salida de este algoritmo se define como la devolución de valores exclusivamente positivos si hay más ceros que unos en la secuencia y, en cualquier otro caso, devolverá una mezcla de señales positivas y negativas.

Ejemplo de algoritmo

El problema consiste en encontrar el máximo de un conjunto de números. Para un ejemplo más complejo véase Algoritmo de Euclides.

Descripción de alto nivel

Dado un conjunto finito $C$ de números, se tiene el problema de encontrar el número más grande. Sin pérdida de generalidad se puede asumir que dicho conjunto no es vacío y que sus elementos están numerados como $c_{0},c_{1},\dots ,c_{n}$.

Es decir, dado un conjunto $C=\{c_{0},c_{1},\dots ,c_{n}\}$ se pide encontrar $m$ tal que $x\leq m$ para todo elemento $x$ que pertenece al conjunto $C$.

Para encontrar el elemento máximo, se asume que el primer elemento ($c_{0}$) es el máximo; luego, se recorre el conjunto y se compara cada valor con el valor del máximo número encontrado hasta ese momento. En el caso que un elemento sea mayor que el máximo, se asigna su valor al máximo. Cuando se termina de recorrer la lista, el máximo número que se ha encontrado es el máximo de todo el conjunto.

Descripción formal

El algoritmo escrito de una manera más formal, esto es, en pseudocódigo tendría el siguiente aspecto:

Algoritmo Encontrar el máximo de un conjunto

función $\max(C)\,$ //$C$ es un conjunto no vacío de números// $n\gets |C|$ //$|C|$ es el número de elementos de $C$// $m\gets c_{0}$ para $i\gets 1$ hasta $n\,$ hacer si $c_{i}>m\,$ entonces $m\gets c_{i}$ devolver $m\,$

Sobre la notación:

• "$\gets$" representa la asignación entre dos objetos. Por ejemplo, $m\leftarrow x$ significa que el objeto $m$ cambia su valor por el de $x$
• "devolver" termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso, el máximo de $C$)

Implementación

En lenguaje C++:

int max(int c[], int n){
   int i, m = c[0];
   for (i = 1; i < n; i++)
      if (c[i] > m) m = c[i];
   return m;
}

En lenguaje C#:

static int max(int[] c){
  int result=c[0];
  for(int i=1;i<c.Length;i++){
   if(c[i]>result){
    result=c[i];
   }
  }
 return result;
}

En lenguaje Java:

 public int max( int c[] ) {
    int n = c.length, m = c[0];
    for( int i = 1 ; i < n ; i++ )
        if( c[i] > m ) m = c[i];
    return m;
 }

En lenguaje Visual Basic 8 (2005):

 Public Function max(C As Integer()) As Integer
     Dim n As Integer = C.GetLength(0)
     Dim m As Integer = C(0)
     For i As Integer = 1 To n
         If C(i) > m Then
             m = C(i)
         End If
     Next
     Return m
 End Function

En lenguaje Delphi:

function Max(const ListaNumeros: array of Integer): Integer;
var
  vTemp, i: Integer;
begin
 vTemp:= 0;

 for i:= 1 to High(ListaNumeros) do
  if ListaNumeros[i] > vTemp then
   vTemp:= ListaNumeros[i];

 Result:= vTemp;
end;

En lenguaje Ada

 type T_Conjunto is array <> of Integer;
 function Maximo
   (Conjunto : T_Conjunto) return Integer 
 is
    Temporal : Integer := Conjunto (1);
 begin
    for I in 2 .. Conjunto'Last loop
       if Conjunto (I) > Temporal then
          Temporal := Conjunto (I);
       end if;
    end loop;
    return Temporal;
 end Maximo;

En lenguaje Python

def max(c):
  n=len(c)
  m=c[0]
  for i in range(1,n):
    if c[i]>m: m=c[i]
  return m

Análisis

El algoritmo anterior tiene un orden de eficiencia en tiempo de $O(n)$, en la notación O mayúscula, siendo $n$ el tamaño de la entrada, más concretamente, en este caso, el número de elementos de $C$. Además, como el algoritmo necesita recordar un único valor (el máximo) requiere un espacio adicional de $O(1)$ (hay que tener en cuenta que el tamaño de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo).

Tipos de algoritmos según su función

• Algoritmo de ordenamiento
• Algoritmo de búsqueda

Técnicas de diseño de algoritmos

• Algoritmos voraces (greedy): seleccionan los elementos más prometedores del conjunto de candidatos hasta encontrar una solución. En la mayoría de los casos la solución no es óptima.
• Algoritmos paralelos: permiten la división de un problema en subproblemas de forma que se puedan ejecutar de forma simultánea en varios procesadores.
• Algoritmos probabilísticos: algunos de los pasos de este tipo de algoritmos están en función de valores pseudoaleatorios
• Algoritmos determinísticos: El comportamiento del algoritmo es lineal: cada paso del algoritmo tiene únicamente un paso sucesor y otro ancesor.
• Algoritmos no determinísticos: El comportamiento del algoritmo tiene forma de árbol y a cada paso del algoritmo puede bifurcarse a cualquier número de pasos inmediatamente posteriores, además todas las ramas se ejecutan simultáneamente.
• Divide y vencerás: dividen el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solución de cada uno de ellos para después unirlas, logrando así la solución al problema completo.
• Metaheurísticas: encuentran soluciones aproximadas (no óptimas) a problemas basándose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos.
• Programación dinámica: intenta resolver problemas disminuyendo su coste computacional aumentando el coste espacial.
• Ramificación y acotación: se basa en la construcción de las soluciones al problema mediante un árbol implícito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones.
• Vuelta Atrás (Backtracking): se construye el espacio de soluciones del problema en un árbol que se examina completamente, almacenando las soluciones menos costosas.

Temas relacionados

• Cota superior asintótica
• Cota inferior asintótica
• Cota ajustada asintótica
• Complejidad computacional
• Máquina de Turing

Disciplinas relacionadas

• Ciencias de la Computación
• Análisis de algoritmos
• Complejidad computacional
• Informática
• Inteligencia artificial
• Investigación operativa
• Matemáticas
• Programación

Bibliografía

• Fundamentos de Algoritmia, G. Brassard y P. Bratley. (ISBN 848966000)
• The Art of Computer Programming, Knuth, D. E. [quien fue también, el creador del TeX]
• Introduction to Algorithms (2nd ed), Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L. y Stein, C.
• Introduction to Algorithms. A Creative Approach, Mamber, U.
• Algorithms in C (3r ed), Sedgewick, R. (también existen versiones en C++ y Java)
• The Design and Analysis of Computer Algorithms, Aho, A.

• Método de las 6'D. Modelamiento - Algoritmo - Programación. Enfoque orientado a las estructuras lógicas (2da ed.), Juan José Flores Cueto y Carmen Bertolotti Zuñiga, 2008.

• Método de las 6'D. Modelamiento - Algoritmo - Programación. Enfoque orientado a los arreglos (1ra ed.), Juan José Flores Cueto y Gustavo Tataje Salas, 2009.

Enlaces externos

• Wikilibros alberga un libro o manual sobre Algoritmia.
• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre algoritmo.
• Portal de algoritmia
• Portal de algoritmos básicos
• Técnicas de Diseño de Algoritmos manual que explica y ejemplifica los distintos paradigmas de diseño de algoritmos. Rosa Guerequeta y Antonio Vallecillo (profesores de la Universidad de Málaga).
• Transparencias de la asignatura "Esquemas Algorítmicos", Campos, J.
• Apuntes y problemas de Algorítmica por Domingo Giménez Cánovas
• Curso de Diseño de Algoritmos de Carlos Pes
• Algoritmos y Diagramas de Flujo