Inducción matemática

La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

Premisa mayor El número entero $a$ tiene la propiedad $P$

Premisa menor El hecho de que cualquier número entero $n$ tenga la propiedad $P$ implica que $n+1$ también la tiene

Conclusión Todos los números enteros a partir de $a$ tienen la propiedad $P$

Demostraciones por inducción

El razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el esquema del razonamiento es el siguiente: Llamemos P_n la proposición al rango n.

• Se demuestra que P₀ es cierta, o el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción).
• Se demuestra que si se asume P_n como cierta, entonces P_n+1 lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural n. (relación de inducción).

Luego, demostrado esto, concluímos por inducción, que P_n es cierto para todo natural n.

La inducción puede empezar por otro término que P₀, digamos por P_no. Entonces P_n no será válido a partir del rango n_o, es decir, para todo natural n ≥ n_o.

Ejemplo:Que para todo n ≥ 1, 6ⁿ es un número que acaba en 6.

Sea P_n la proposición: "6ⁿ acaba en 6".

• Es claro que P₁ es cierto, porque 6¹ = 6.

• Supongamos que P_n es cierto para un valor de n natural, y probemos P_n+1.

Un entero acaba por 6 si se puede escribir así: 10a + 6, con a entero positivo o igual a cero. La hipótesis es, pues, 6ⁿ = 10a + 6.

Entonces 6ⁿ⁺¹ = 6(10a + 6) = 60a + 36 = 60a + 30 + 6 = 10(6a + 3) + 6 = 10c + 6, con c=6a + 3, entero.

Esta última escritura prueba que 6ⁿ⁺¹ acaba por 6, o sea que P_n+1 es cierto.

Luego P_n es cierto para todo n ≥ 1.

La inducción es válida por la construcción misma del conjunto de los naturales mediante los axiomas de Peano. De hecho, lnjunto: 0 es un natural, y, si n lo es, entonces n+1 (sucesor de n) lo es también.
Existen otras inducciones, para otros conjuntos elaborados de forma distinta, como por ejemplo la inducción transfinita, y la inducción sobre las fórmulas de la lógica proposicional.

Además de la Demostración por Inducción, existe la definición o construcción por inducción. Por ejemplo, una sucesión aritmética puede ser definida como función de n: u_n = a + rn, o por inducción:

• u₀ = a
• u_n+1 = u_n + r.

(véase también la Definición de Pitatoria por Inducción:)

Otro ejemplo

Se analiza la siguiente proposición

$\sum _{k=1}^{n}(2k-1)3^{k}=(n-1)3^{n+1}+3$ $\forall n\in \mathbb {N}$

Se analiza si es verdadera para n=1

$\sum _{k=1}^{1}(2-1)3^{1}=(1-1)3^{1+1}+3=3$

Por lo tanto la proposición es verdadera para n=1

Hipótesis inductiva

$\sum _{k=1}^{h}(2k-1)3^{k}=(h-1)3^{h+1}+3$

Tesis inductiva

$\sum _{k=1}^{h+1}(2k-1)3^{k}=(h+1-1)3^{h+1+1}+3$

$\sum _{k=1}^{h+1}(2k-1)3^{k}=h3^{h+2}+3$

Demostración

$\sum _{k=1}^{h+1}(2k-1)3^{k}=(h-1)3^{h+1}+3+[2(h+1)-1]3^{h+1}$

$\sum _{k=1}^{h+1}(2k-1)3^{k}=(h-1)3^{h+1}+3+(2h+2-1)3^{h+1}$

$\sum _{k=1}^{h+1}(2k-1)3^{k}=3^{h+1}(h-1+2h+1)+3$ (sacando factor común)

$\sum _{k=1}^{h+1}(2k-1)3^{k}=3^{h+1}3h+3$

$\sum _{k=1}^{h+1}(2k-1)3^{k}=h3^{h+2}+3$

Por lo tanto la proposición es verdadera $\forall n\in \mathbb {N}$

Véase también

• El principio de inducción