Lugar geométrico

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades sii todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.

Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.

Ejemplos

Estos son varios ejemplos de lugares geométricos en el plano:

• El lugar geométrico de los puntos $P$ que equidistan a dos puntos fijos $A$ y $B$ (los dos extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz. Dicho de otra forma, la mediatriz es la recta que intersecta perpendicularmente a un segmento $AB$ en su punto medio ($AB/2$).

• La bisectriz es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos rectas (que se cortan en el vértice), la bisectriz es la recta que lo divide en dos mitades. Esta recta cumple la propiedad de que equidista a las dos anteriores. Generalizando por la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que para dos rectas paralelas se forma la paralela media, que no es un caso concreto de la bisectriz, aunque sí un lugar geométrico.

Las secciones cónicas pueden ser descritas mediante sus lugares geométricos:

• Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto determinado, el centro, es un valor dado (el radio).

• Una elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, los focos, es una constante dada (equivalente a la longitud del semieje mayor de la elipse).

• La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su distancia a una recta llamada directriz.

• La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es igual a una constante (positiva), que equivale a la distancia entre los vértices.

Figuras muy complejas pueden ser descritas mediante el lugar geométrico generado por los ceros de una función o de un polinomio. Por ejemplo, las cuádricas están definidas como el lugar geométrico de los ceros de polinomios cuadráticos. En general, los lugares geométricos generados por los ceros del conjunto de polinomios reciben el nombre de variedad algebraica, las propiedades de dichas variedades se estudian en la geometría algebraica.