Seno (trigonometría)

En trigonometría el seno de un ángulo de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

$\sin(\alpha )={\frac {a}{c}}$

O también como la ordenada correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen (c=1):

$\sin(\alpha )=a\,$

En matemáticas el seno es la función obtenida al hacer variar la razón mencionada, siendo una de las funciones trascendentes.

Etimología

El astrónomo y matemático hindú Aria Bhatta (476–550 d. C.) estudió el concepto de «seno» con el nombre de ardhá shia (en inglés ardha-jya),​ siendo ardhá: ‘mitad, medio’, y shiá: ‘cuerda’). Por simplicidad, el término se terminó apocopando como shiá. Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al árabe, se referían a este término sánscrito como jiba (pronunciado shiba, lo más parecido al sánscrito). Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado jb. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir ‘bahía’), ya que en árabe, jiba es una palabra sin sentido. A finales del siglo XII, el traductor italiano Gherardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazó el insensato jiab por su contraparte latina sinus (‘hueco, cavidad, bahía’). Luego, ese sinus se convirtió en el español «seno».​

Según otra explicación,^{[cita requerida]} la cuerda de un círculo, se denomina en latín inscripta corda o simplemente inscripta. La mitad de dicha cuerda se llama semis inscríptae. Su abreviatura era s. ins., que terminó simplificada como sins. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó sinus.

Con números complejos

También se puede definir de la forma:

${\rm {sin}}(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$

Donde donde e es la base del logaritmo natural, e i es la unidad de los números imaginarios.

Como serie de Taylor

El seno como Serie de Taylor es:

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\;x^{2n+1}$

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\;x^{2n+1}$

Representación gráfica

Archivo:FunTriR100.svg

Seno de una suma o una resta de ángulos

Seno de la suma de dos ángulos

Esta identidad trigonometrica se define a partir del coseno de la diferencia de dos ángulos

$\forall \ \theta ,\phi \in \mathbb {R}$

• Se sabe que las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales a las cofunciones del ángulo complementario, es decir

$\sin \left(\phi +\theta \right)=\cos \left[{\frac {\pi }{2}}-(\phi +\theta )\right]$

• Distribuyo el menos y asocio de una manera distinta

$\sin \left(\phi +\theta \right)=\cos \left[({\frac {\pi }{2}}-\phi )-\theta )\right]$

• Aplico la identidad trigonométrica del coseno de la diferencia de dos ángulos, entonces

$\sin \left(\phi +\theta \right)=\cos({\frac {\pi }{2}}-\phi )\cos \theta +\sin({\frac {\pi }{2}}-\phi )\sin \theta$

• Volviendo a aplicar la propiedad de la funciones trigonométrica del ángulo completario, queda

$\sin \left(\phi +\theta \right)=\sin \phi \cos \theta +\cos \phi \sin \theta$

Seno de la diferencia de dos ángulos

$\sin \left(\phi +(-\theta \right))=\sin \phi \cos(-\theta )+\cos \phi \sin(-\theta )$

• obtenemos la resta. Como el coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el signo sale.

$\sin \left(\phi -\theta \right)=\sin \phi \cos \theta -\cos \phi \sin \theta$

Forma resumida

$\sin \left(\phi \pm \theta \right)=\sin \phi \cos \theta \pm \cos \phi \sin \theta$

Seno de un ángulo doble

Tenemos que

$\sin \left(\phi +\theta \right)=\sin \phi \cos \theta +\cos \phi \sin \theta$

Hagamos $\phi =\theta \,$ entonces

$\sin \left(2\phi \right)=2\sin \phi \cos \phi$

Derivada del Seno

• Según la definición de derivada:

$f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

• lo que es

$\sin 'x=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin x}{h}}$

• Entonces, usando la fórmula del seno de la suma de dos ángulos, se tiene que

$\sin 'x=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin x\cdot \cos h+\cos x\cdot \sin h-\sin x}{h}}$

• Factorizando

$\sin 'x=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin x\cdot (\cos h-1)+\cos x\cdot \sin h}{h}}$

• Separando, dado que todas las funciones son continuas, se tiene

$\sin 'x=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin x\cdot (\cos(h)-1)}{h}}+\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos x\cdot \sin h}{h}}$

• Como:

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos h-1}{h}}=0,$ esto es así ya que

$\cos \phi -\cos \theta =-2\sin {\Bigg (}{\frac {\phi +\theta }{2}}{\Bigg )}\sin {\Bigg (}{\frac {\theta -\phi }{2}}{\Bigg )}$

reemplazando para $\theta =h$ y $\phi =0$

Se tiene que:

$-2\sin {\Bigg (}{\frac {h}{2}}{\Bigg )}\sin {\Bigg (}{\frac {h}{2}}{\Bigg )}$

y utilizando el límite conocido: $\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1$

Se obtiene que el primer término es 0, entonces

• $\sin 'x=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos x\cdot \sin h}{h}}$
• Como:

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1$

• Por ello puede simplificarse, y se tiene que

$\sin 'x=\cos x\,$

Véase también

• Teorema del seno
• Arcoseno
• Coseno
• Tangente
• Sinusoide
• Trigonometría
• Función matemática
• Función par
• Función impar

Enlaces externos

• Seno en MathWorld